罗尔定理 什么事罗尔定理

一、什么事罗尔定理

一：罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续（其中a不等于b）；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，

那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ

罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。

罗尔定理的三个已知条件的几何意义是：f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；f(x)在内(a,b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴.罗尔定理的结论的直观意义是：在(a,b)内至少能找到一点ξ，使f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，也就平行于x轴.

二：罗尔定理可以直观的理解为，如果一个可导的函数，两个端点值是一样的话，那肯定有个中间值是导数为0的。直观理解就是函数图像要先上升（下降）再下降（上升）回到原来的值，那中间有个地方肯定是比较平坦（不是很严格，直观想象）的。拉格朗日是两个端点值不一样，中间有个值能达到。证明的思想是构造函数，把斜的化成平的（直观想象）。

设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，如果

（1）函数f(x)在闭区间[a，b]上连续；

（2）函数f(x)在开区间（a，b）内可导；

（3）函数f(x)在区间两端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)

则在（a，b）内至少存在一个点a<ξ

当曲线方程满足罗尔定理的要求时，在区间内至少存在一点使得该点的切线的斜率为零，换句话说，该点的切线平行于x轴.

[例题]不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的导数，说明方程f(x)=0有几个实根，并指出它们所在的区间。

解：由于函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)在整个实数轴上连续、可导，并且f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0，分别在区间(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)内应用罗尔定理，可得方程f(x)=0至少有4个实根，但由于f(x)是一个4次多项式，至多有4个实根，因此，方程f(x)=0只有4个实根，并且分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)内。

二、罗尔定理的证明过程是什么

证明：因为函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M和 m表示，分两种情况讨论：

1.若 M=m，则函数 f(x)在闭区间 [a,b]上必为常函数，结论显然成立。

2.若 M>m，则因为 f(a)=f(b)使得最大值 M与最小值 m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x)在开区间(a,b)内可导得，f(x)在ξ处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ )<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

如果 R上的函数 f(x)满足以下条件：

（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

三、什么是罗尔定理

1、f(x)在[a，b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；

2、f(x)在内(a，b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；

3、f(a)=f(b)表明曲线的割线(直线AB)平行于x轴；罗尔定理的结论的直几何意义是：在(a，b)内至少能找到一点ξ，使f’(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，与x轴平行。

罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一罗尔定理，是以法国数学家罗尔的名字命名的。罗尔定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续(其中a不等于b)，在开区间(a，b)上可导，且f(a)=f(b)，那么至少存在一点ξ∈(a、b)，使得f‘(ξ)=0。

罗尔在代数学方面做过许多工作，曾经积极采用简明的数学符号如“=”、“ˇ√￣”等撰写数学著作；研究并掌握了与现代一致的实数集的序的观念以及方程的消元方法；提出所谓的级联法则来分离代数方程的根。

参考资料来源：人民网——2015考研数学重要知识点总结

四、罗尔定理是什么

一：罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续（其中a不等于b）；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，

那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ

罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。

罗尔定理的三个已知条件的几何意义是：f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；f(x)在内(a,b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴.罗尔定理的结论的直观意义是：在(a,b)内至少能找到一点ξ，使f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，也就平行于x轴.

二：罗尔定理可以直观的理解为，如果一个可导的函数，两个端点值是一样的话，那肯定有个中间值是导数为0的。直观理解就是函数图像要先上升（下降）再下降（上升）回到原来的值，那中间有个地方肯定是比较平坦（不是很严格，直观想象）的。拉格朗日是两个端点值不一样，中间有个值能达到。证明的思想是构造函数，把斜的化成平的（直观想象）。

设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，如果

（1）函数f(x)在闭区间[a，b]上连续；

（2）函数f(x)在开区间（a，b）内可导；

（3）函数f(x)在区间两端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)

则在（a，b）内至少存在一个点a<ξ

当曲线方程满足罗尔定理的要求时，在区间内至少存在一点使得该点的切线的斜率为零，换句话说，该点的切线平行于x轴.

[例题]不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的导数，说明方程f(x)=0有几个实根，并指出它们所在的区间。

解：由于函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)在整个实数轴上连续、可导，并且f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0，分别在区间(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)内应用罗尔定理，可得方程f(x)=0至少有4个实根，但由于f(x)是一个4次多项式，至多有4个实根，因此，方程f(x)=0只有4个实根，并且分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)内。

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