罗尔定理推论证明过程(什么是罗尔中值定理)

一、罗尔中值定理的3个条件是结论成立的什么条件

则至少存在一个ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=0.

,因此可以得到该条件是充分的,但不是必要的,因为当f(x)=0对一切定义域都成立时,条件就不成立了,所以不必要。

罗尔定理是数学家罗尔通过推算和证明得出的结论,但在他看来,他的推论需要满足这三个条件才能够成立.如果是任意两个值的话就变成拉格朗日中值定理了

二、什么是罗尔中值定理

罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

如果R上的函数 f(x)满足以下条件：

（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

证明：因为函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M和 m表示，分两种情况讨论：

1.若 M=m，则函数 f(x)在闭区间 [a,b]上必为常函数，结论显然成立。

2.若 M>m，则因为 f(a)=f(b)使得最大值 M与最小值 m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x)在开区间(a,b)内可导得，f(x)在ξ处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ )<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

三、罗尔中值定理怎么证明

1、定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]连续，开区间（a,b）可导，f(a)=f(b),则在（a,b）内至少存在一点c,使f'(c)=0。

2、证明：函数f(x)在闭区间[a,b]连续，则f(x)在闭区间[a,b]一定有最大值M与最小值m。

3、当M=m,则f(x)在闭区间[a,b]是常数函数，常数函数的导数为零，（a,b）中任意一点c,使f'(c)=0。

4、如果m

四、罗尔中值定理的证明

1、若M=m，则函数f(x)在闭区间[a，b]上必为常函数，结论显然成立。

2、若M>m，则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a，b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件f(x)在开区间(a，b)内可导得，f(x)在ξ处取得极值，推知：f'(ξ)=0。

罗尔定理罗尔是法国数学家。罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程的研究。罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根。

在一百多年后，1846年尤斯托(Giusto Bellavitis)将这一定理推广到可微函数，尤斯托还把此定理命名为罗尔定理。

试讨论下列函数在指定区间内是否存在一个点ξ，使f’(ξ)=0.

(1)f(x)={xsin(1/x), 0

解：(1)f(x)在[0，1/π]上连续，在(0，1/π)上可导，且有f(0)=f(1/π)=0，由罗尔中值定理知，存在一点ξ∈(0，1/π)，使得f’(ξ)=0。

(2)f(x)在[-1，1]上连续，但在(-1，1)内x=0上不可导，∴不一定存在一点ξ∈(-1，1)，使f’(ξ)=0。

又 f'(x)={1，x>0;-1，x<0}，∴不存在一点ξ∈(-1，1)，使f’(ξ)=0。

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