数学与统计学院李涛博士在计算数学顶级期刊 《Mathematics of Computation》发表高水平研究成果

近日，美国数学学会期刊《Mathematics of Computation》在线发表了海南大学李涛博士（第一作者）和王卿文教授的最新研究成果“QQMR: A structure preserving quaternion quasi-minimal residual method”。《Mathematics of Computation》是国际上计算数学领域的顶级期刊，由美国数学学会出版，创刊于1943年，专注于数值分析、计算方法和数学应用等领域的高质量研究。该期刊在学术界享有很高的声誉，发表的文章通常具有重要的理论或应用价值。在中国数学会推荐的数学期刊分类简表中被列为T1类刊物，在中科院分区中也是1区Top期刊。海南大学为此成果的第一完成单位，通讯作者为上海大学王卿文教授。

论文主要研究了快速求解大型稀疏四元数线性方程组的保结构四元数拟极小残差法（QQMR）。此算法是李涛博士和王卿文教授继保结构四元数双共轭梯度法（SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 45: 306-326, 2024）之后的又一高水平成果。四元数双共轭梯度法对舍入误差较为敏感，特别是在求解某些大型病态四元数线性方程组时残差范数会剧烈震荡，导致此算法计算效率降低。在实数域上，QMR算法具有拟极小化残差性质，可有效避免残差范数震荡的问题，而耦合两项递推格式的双共轭规范正交化过程是建立QMR算法的基石。但因四元数乘法的非交换性，导致在四元数代数上构建该过程具有极大的难度。本文的主要工作是在四元数代数上首次建立了基于耦合两项递推格式的双共轭规范正交化过程。以此为理论基础，建立了保结构四元数拟极小残差法及其收敛性分析。为加快QQMR算法的收敛速度，论文又在四元数代数上构建了全新的不完全LU分解作为预处理子，给出了预处理QQMR算法。

这些算法充分利用实表示的JRS-对称性，在迭代过程中仅需计算出四元数（四元数向量）实表示的第一列分块，相较于直接利用QMR算法求解原方程组的实表示等价矩阵方程，可节省四分之三的存储量和计算量。同时，此算法可有效避免残差范数的剧烈震荡，在处理彩色图像去模糊和Lorenz吸引子问题上，较QBiCG算法更加稳定高效。此项研究成果将促进四元数代数上高性能保结构 Krylov 子空间算法的进一步发展，具有重要的理论意义和实际应用价值。

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