求导法则 求导公式运算法则
来源：择校网 时间：2024-11-30 06:55:28
一、求导的链式法则
1、链式法则是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。
2、所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。
3、如f(x)=3x，g(x)=x 3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g(f(x))=3x 3
4、若h(x)=f(g(x))，则h'(x)=f'(g(x))g'(x)
5、链式法则用文字描述，就是“由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里边函数代入外边函数的值之导数，乘以里边函数的导数。
二、导数的四则运算法则
导数的四则运算法则是（u v）'=u' v'，（u-v）'=u'-v'，（uv）'=u'v uv'，（u÷v）'=（u'v-uv'）÷v^2。
导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
导数就是“平均变化率“△y/△x”，当△x→0时的极限值”。可导函数y=f(x)在点(a,b)处的导数值为f'(a)。
高中数学里基本初等函数的导数公式里涉及到的函数类型有：常函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数。
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二 一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
三、导数的四则运算法则公式是什么
导数公式指的是基本初等函数的导数公式，导数运算法则主要包括四则运算法则、复合函数求导法则（又叫“链式法则”）。
导数就是“平均变化率“△y/△x”，当△x→0时的极限值”。可导函数y=f(x)在点(a,b)处的导数值为f'(a)。
高中数学里基本初等函数的导数公式里涉及到的函数类型有：常函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数。它们的导数公式如下图所示：
三、导数加、减、乘、除四则运算法则
导数加、减、乘、除四则运算法则公式如下图所示：
为了便于记忆，我们可以把导数的四则运算法则简化为如下图所示的、比较简洁的四则运算公式。
四、复合函数求导公式（“链式法则”）
求一个基本初等函数的导数，只要代入“基本初等函数的导数公式”即可。对于基本初等函数之外的函数如“y=sin(2x)”的导数，则要用到复合函数求导法则（又称“链式法则”）。其内容如下。
（1）若一个函数y=f(g(x))，则它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系如下图所示。
（2）根据“复合函数求导公式”可知，“y对x的导数，等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”。
解：y=sin(2x)可看成y=sinu与u=2x的复合函数。
因为(sinu)'=cosu，(2x)'=2，
所以，[sin(2x)]'=(sinu)'×(2x)'
五、可导函数在一点处的导数值的物理意义和几何意义
（1）物理意义：可导函数在该点处的瞬时变化率。
（2）几何意义：可导函数在该点处的切线斜率值。
【注】一次函数“kx b(k≠0)”的导数都等于斜率“k”，即(kx b)'=k。
四、导数基本运算法则
1、运算法则是：加（减）法则，[f(x) g(x)]'=f(x)' g(x)'；乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x) g(x)'*f(x)；除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
2、导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
3、求导运算法则是：加（减）法则：[f(x) g(x)]'=f(x)' g(x)'；乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x) g(x)'*f(x)；除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
4、不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
五、求导的乘法法则是什么
1、求导定义：函数y=f(x)的导数的原始定义为
2、y'=f'(x)=lim(Δx→0)|(Δy/Δx)=lim(Δx→0)|Δy/lim(Δx→0)|Δx=dy/dx，
3、导数的四则运算法则：u=u(x)，v=v(x)；
4、加减法原则：(u±v)'=u'±v'
5、证明：(u±v)'=lim(Δx→0)|(Δ(u±v)/Δx)=d(u±v)/dx，
6、其中Δ(u±v)=u(x Δx)±v(x Δx)-u(x)±v(x)
7、=[u(x Δx)-u(x)]±[v(x Δx)-v(x)]
8、则(u±v)'=lim(Δx→0)|(Δ(u±v)/Δx)
9、=lim(Δx→0)|(Δu/Δx)±lim(Δx→0)|(Δv/Δx)
10、乘法法则(uv)'=u'v uv'
11、证明：则(uv)'=lim(Δx→0)|(Δ(uv)/Δx)=d(uv)/dx，
12、其中Δ(uv)=u(x Δx)v(x Δx)-u(x)v(x)
13、=[u(x Δx)v(x Δx)-u(x)v(x Δx)] [u(x)v(x Δx)-u(x)v(x)]
14、=[u(x Δx)-u(x)]v(x Δx)] u(x)[v(x Δx)-v(x)]
15、则(uv)'=lim(Δx→0)|[(Δu×v(x Δx)] u(x)×Δv)/Δx]
16、=lim(Δx→0)|[Δu×v(x Δx)/Δx] lim(Δx→0)|[u(x)×Δv/Δx]
17、=lim(Δx→0)|[Δu×v(x Δx)/Δx]×lim(Δx→0)|v(x Δx) lim(Δx→0)|u(x)×lim(Δx→0)|[u(x)Δv/Δx]
18、除法法则：(u/v)'=(u'v-uv')/v²
19、证明：与乘法法则的证法类似，此处略！
20、复合函数的求导法则：y=f(u)=f(u(x))，u=u(x)，则y'=f'(u(x))×u'(x)
21、简证：y=f(u)=f(u(x))，u=u(x)，
22、则y'=lim(Δx→0)|(Δy/Δx)
23、=lim(Δx→0)|[(Δy/Δu)×(Δu/Δx)]
24、=lim(Δx→0)|(Δy/Δu)×lim(Δx→0)|(Δu/Δx)
25、e^y xy-e=0——原隐函数，其中y=f(x)
26、两边求导得(e^y xy-e)'=0'
27、左边先由求导的加减法原则可知(e^y xy-e)'=(e^y)' (xy)'-(e)'，
28、由常数的导数为0可知原隐函数两边求导后为：(e^y)' (xy)'=0
29、由复合函数的导数可知(e^y)'=e^y×y'，其中(e^x)'=e^x；
30、由求导的乘法法则可知(xy)'=y xy'，
31、即原隐函数的导数为e^y×y' y xy'=0（其中y'=dy/dx）
32、接下来求函数y的过程就是传说中的求解微分方程，
33、这个求解通常都比较难，而且往往是非常难！
六、求导公式运算法则
1、运算法则是：加（减）法则，[f(x) g(x)]'=f(x)' g(x)'；乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x) g(x)'*f(x)；除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
2、导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
3、求导运算法则是：加（减）法则：[f(x) g(x)]'=f(x)' g(x)'；乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x) g(x)'*f(x)；除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
4、不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
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