求值域的方法 求值域的五种方法

一、求函数值域常用方法

1、求函数值域的常用方法有：配方法，分离常数法，判别式法，反解法，换元法，不等式法，单调性法，函数有界性法，数形结合法，导数法。

2、直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

3、先确定函数在其定义域（或定义域的某个子集上）的单调性，再求出函数值域的方法。考虑这一方法的是某些由指数形式的函数或对数形式的函数构成的一些简单的初等函数，可直接利用指数或对数的单调性求得答案；还有一些形如，看a,d是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域；还有的在利用重要不等式求值域失败的情况下，可采用单调性求值域。

4、其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

5、利用导数求闭区间上函数的值域的一般步骤：(1)求导，令导数为0；(2)确定极值点，求极值；(3)比较端点与极值的大小，确定最大值与最小值即可确定值域。

6、总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

二、求值域的方法有哪些

1、通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3 √(2-3x)的值域点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。

2、当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x 1)/(x 2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y=(x 1)/(x 2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。

3、当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(-x2 x 2)的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

4、若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例4求函数y=(2x2-2x 3)/(x2-x 1)的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

5、对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。例5已知(2x2-x-3)/(3x2 x 1)≤0,且满足x y=1,求函数z=xy 3x的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

6、通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例6求函数y=∣x 1∣ √(x-2)2的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

7、利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域例7求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=-√1-3x,y=f(x) g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

8、以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例8求函数y=x-3 √2x 1的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

9、根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例9求函数y=√x2 4x 5 √x2-4x 8的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

10、对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域例10已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2 y2的值域。

11、例11求函数y=(3x 2)/(x 1)的值域点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和解：y=(3x 2)/(x 1)=3-1/(x 1)。1/(x 1)≠0，故y≠3。函数y的值域为y≠3的一切实数。

12、例12求函数Y=3x/(3x 1)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],由对数函数的定义知x/(1-x)>0，1-x≠0解得：01或y

三、求值域的五种方法

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。

2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。

3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。

4.拆分法：对于形如y=cx d，ax b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。

5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。

6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。

这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。

10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。

例题：y=(3x-1)/(3x-2)

先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)

值域，在函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。

在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数。

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或淡化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数的定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。

参考资料：百度百科-值域（数学名词，函数经典定义）

四、值域怎么求

1、函数经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域,在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}

2、y=ax^2 bx c当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a, ∞);

3、当a<0时，值域为(-∞，4ac-b^2/4a]

4、在解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。

5、把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*求解，把的解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法;

6、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。

7、通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

8、例如在分解(x² x 1)(x² x 2)-12时，可以令y=x² x,则原式=(y 1)(y 2)-12=y² 3y 2-12=y² 3y-10=(y 5)(y-2)=(x² x 5)(x² x-2)=(x² x 5)(x 2)(x-1).例2，(x 5) (y-4)=8(x 5)-(y-4)=4令x 5=m,y-4=n原方程可写为 m n=8 m-n=4解得m=6,n=2所以x 5=6,y-4=2所以x=1,y=6注意:换元后勿忘还原。

9、利用函数和他的反函数定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域;

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