三角函数求导 三角函数求导公式

一、三角函数求导公式

1、(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1 (tanx)^2

2、-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1 (cotx)^2

3、(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)

4、(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)

5、(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2

6、(coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2

7、随角度增大（减小）而增大（减小），在

8、随角度增大（减小）而减小（增大）；

9、随角度增大（减小）而增大（减小），在

10、随角度增大（减小）而减小（增大）；

11、随角度增大（减小）而增大（减小）；

12、随角度增大（减小）而减小（增大）；

13、随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；

14、随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

15、参考资料来源：百度百科—三角函数

二、三角函数导数公式

1、正弦函数sinx的导数：(sinx)' = cosx 

2、余弦函数cosx的导数：(cosx)' = - sinx 

3、正切函数tanx的导数：(tanx)'=(secx)^2=1/(cosx)^2=1 (tanx)^2 

4、余切函数cotx的导数：(cotx)'=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2=(cotx)^2 -1

5、正割函数secx的导数：(secx)'=tanx·secx 

6、余割函数cscx的导数：(cscx)'=-cotx·cscx

1、正变余，余变正：正弦的导函数是对应的余弦函数。

2、切割方：切函数的导函数是相应割函数的平方。

3、割乘切：割函数的导函数是该割函数乘以切函数。

参考资料来源：百度百科-三角函数

三、反三角函数求导公式是什么

1、反正弦函数的求导：(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

2、反余弦函数的求导：(arccosx)'=-1/√(1-x^2)

3、反正切函数的求导：(arctanx)'=1/(1 x^2)

4、反余切函数的求导：(arccotx)'=-1/(1 x^2)

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x。

相应地。反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2

正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。定义域[-1，1]，值域[-π/2，π/2]。

余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。定义域[-1，1]，值域[0，π]。

正切函数y=tan x在（-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。定义域R，值域（-π/2，π/2）。

余切函数y=cot x在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。定义域R，值域（0，π）。

正割函数y=sec x在[0，π/2）U（π/2，π]上的反函数，叫做反正割函数。记作arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0，π/2）U（π/2，π]区间内。

定义域（-∞，-1]U[1， ∞），值域[0，π/2）U（π/2，π]。

余割函数y=csc x在[-π/2，0）U（0，π/2]上的反函数，叫做反余割函数。记作arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2，0）U（0，π/2]区间内。定义域（-∞，-1]U[1， ∞），值域[-π/2，0）U（0，π/2]。

反三角函数的和差公式与对应的三角函数的和差公式没有关系：

y=arcsin(x)，定义域[-1，1]，值域[-π/2,π/2]；

y=arccos(x)，定义域[-1，1]，值域[0，π]；

y=arctan(x)，定义域(-∞， ∞)，值域(-π/2，π/2)；

y=arccot(x)，定义域(-∞， ∞)，值域(0，π)；

sin(arcsinx)=x，定义域[-1，1]，值域[-1，1]arcsin(-x)=-arcsinx；

证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x，将这两个式子代入上式即可得。

cos(arccosx)=x，arccos(-x)=π-arccosx。

tan(arctanx)=x，arctan(-x)=-arctanx。

arcsinx arccosx=π/2=arctanx arccotx。

sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x。

当x∈[-π/2，π/2]有arcsin(sinx)=x。

x∈(-π/2，π/2)，arctan(tanx)=x。

x>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似。

若(arctanx arctany)∈(-π/2，π/2)，则arctanx arctany=arctan((x y)/(1-xy))。

三角函数的诱导公式（四公式）。

公式一： sin(-α)=-sinα cos(-α)= cosα tan(-α)=-tanα。

公式二： sin(π/2-α)= cosα cos(π/2-α)= sinα。

公式三： sin(π/2 α)= cosα cos(π/2 α)=-sinα。

公式四： sin(π-α)= sinα cos(π-α)=-cosα。

参考资料来源：百度百科-反三角函数

四、三角函数求导公式推导

设f(x)=sinx；(f(x dx)-f(x))/dx=(sin(x dx)-sinx)/dx=(sinxcosdx sindxcosx－sinx)/dx，因为dx趋近于0，cosdx趋近于1，(f(x dx)-f(x))/dx=sindxcosx/dx。

根据重要极限sinx/x在x趋近于0时等于一，(f(x dx)-f(x))/dx＝cosx，即sinx的导函数为cosx。

同理可得，设f(x)=cos(f(x dx)-f(x))/dx=(cos(x dx)-cosx)/dx=(cosxcosdx-sinxsindx－sinx)/dx，因为dx趋近于0cosdx趋近于1(f(x dx)-f(x))/dx=-sindxsinx/dx。

根据重要极限sinx/x在x趋近于0时等于一(f(x dx)-f(x))/dx＝-sinx即cosx的导函数为-sinx。

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

函数（function），数学术语。其定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。

假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

五、三角函数的求导公式表

1、三角函数的求导公式表介绍如下：

2、正切函数：(tanx)'=sec²x

3、余切函数：(cotx)'=-csc²x

4、正割函数：(secx)'=tanx·secx

5、余割函数：(cscx)'=-cotx·cscx

6、反正弦函数：(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

7、反余弦函数：(arccosx)'=-1/√(1-x^2)

8、反正切函数：(arctanx)'=1/(1 x^2)

9、反余切函数：(arccotx)'=-1/(1 x^2)

10、指数函数：①y=axy'=axlna②y=exy'=ex

11、对数函数：①y=logaxy'=1/xlna②y=lnx y'=1/x

12、对倒数(e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna)。

13、指不变(特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna)。

14、切割方(切函数是相应割函数(切函数的倒数)的平方)。

六、常用三角函数导数

1、(tanx)'=sec²x=1 tan²x

2、(tanx)'=(sinx/cosx)'=[cosx·cosx-sinx·(-sinx)]/cos²x=sec²x

3、六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在如下关系：

4、1）对角相乘乘积为1，即sinθ·cscθ=1； cosθ·secθ=1； tanθ·cotθ=1。

5、2）六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：sinθ=cosθ·tanθ；tanθ=sinθ·secθ...

6、3）阴影部分的三角形，处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值。

7、三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

8、常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

9、三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。

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