三角函数的公式 三角函数的公式有哪些

一、三角函数公式大全

倒数关系: tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1商的关系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方关系： sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

平常针对不同条件的常用的两个公式

sin²α cos²α=1 tanα*cotα=1

（sina sinθ）*（sina sinθ）=sin（a θ）*sin（a-θ）证明：（sina sinθ）*（sina sinθ）=2 sin[(θ a)/2] cos[(a-θ)/2]*2 cos[(θ a)/2] sin[(a-θ)/2]=sin（a θ）*sin（a-θ）

正弦： sinα=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cosα=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tanα=∠α的对边/∠α的邻边余切：cotα=∠α的邻边/∠α的对边

正弦 sin2A=2sinA·cosA余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）

sin3α=4sinα·sin(π/3 α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3 α)cos(π/3-α) tan3a= tan a· tan(π/3 a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导 sin(3a)=sin(a 2a)=sin2acosa cos2asina=2sina(1-sin²a) (1-2sin²a)sina=3sina-4sin^3a cos3a=cos(2a a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa=4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60° sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60 a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60° a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)^2]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a 30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a 30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a 30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90° (60° a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60° a)]=4cosacos(60°-a)cos(60° a)上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60° a)

sin（n a）=Rsina sin（a π/n）……sin（a （n-1）π/n）。其中R=2^（n-1）证明：当sin（na）=0时，sina=sin（π/n）或=sin（2π/n）或=sin（3π/n）或=……或=sin【（n-1）π/n】这说明sin（na）=0与｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1）π/n】=0是同解方程。所以sin（na）与｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1）π/n】成正比。而（sina sinθ）*（sina sinθ）=sin（a θ）*sin（a-θ），所以｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1π/n】与sina sin（a π/n）……sin（a （n-1）π/n）成正比（系数与n有关，但与a无关，记为Rn）。然后考虑sin（2n a）的系数为R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易证R2=2，所以Rn= 2^（n-1）

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1 cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1 cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1 cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1 cos(a))

sinθ sinφ= 2 sin[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ= 2 cos[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ cosφ= 2 cos[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ=-2 sin[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA tanB=sin(A B)/cosAcosB=tan(A B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1 tanAtanB)

cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβsin(α β)=sinαcosβ cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α β)]/2 cosαcosβ= [cos(α β) cos(α-β)]/2 sinαcosβ= [sin(α β) sin(α-β)]/2 cosαsinβ= [sin(α β)-sin(α-β)]/2

sinh(a)= [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a)= [e^a e^(-a)]/2 tanh(a)= sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）=-sinα cos（π＋α）=-cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（-α）=-sinα cos（-α）= cosα tan（-α）=-tanα cot（-α）=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π-α）= sinα cos（π-α）=-cosα tan（π-α）=-tanα cot（π-α）=-cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π-α）=-sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）=-tanα cot（2π-α）=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2 α）= cosα cos（π/2 α）=-sinα tan（π/2 α）=-cotα cot（π/2 α）=-tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2 α）=-cosα cos（3π/2 α）= sinα tan（3π/2 α）=-cotα cot（3π/2 α）=-tanα sin（3π/2-α）=-cosα cos（3π/2-α）=-sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z) A·sin(ωt θ) B·sin(ωt φ)=√{(A² B² 2ABcos(θ-φ)}· sin{ωt arcsin[(A·sinθ B·sinφ)/√{A^2 B^2; 2ABcos(θ-φ)}}√表示根号,包括{……}中的内容

sin(-α)=-sinα cos(-α)= cosα tan(-α)=-tanα sin(π/2-α)= cosα cos(π/2-α)= sinα sin(π/2 α)= cosα cos(π/2 α)=-sinα sin(π-α)= sinα cos(π-α)=-cosα sin(π α)=-sinα cos(π α)=-cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

sinα=2tan(α/2)/[1 (tan(α/2))²] cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1 (tan(α/2))²] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]

(1)(sinα)² (cosα)²=1(2)1 (tanα)²=(secα)²(3)1 (cotα)²=(cscα)²证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²，第二个除(cosα)²即可(4)对于任意非直角三角形,总有 tanA tanB tanC=tanAtanBtanC证: A B=π-C tan(A B)=tan(π-C)(tanA tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1 tanπtanC)整理可得 tanA tanB tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x y z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA tanB tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB cotAcotC cotBcotC=1(6)cot(A/2) cot(B/2) cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）² (cosB）² (cosC）²=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）² （sinB）² （sinC）²=2 2cosAcosBcosC其他非重点三角函数 csc(a)= 1/sin(a) sec(a)= 1/cos(a)

三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1、三角函数本质：

[1]根据右图，有 sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y。深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 sin(A B)= sinAcosB cosAsinB为例：推导：首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)∴[cos(α-β)-1]^2 [sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2 (sinα-sinβ)^2和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a b)/2与(a-b)/2）单位圆定义单位圆六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0和π/2弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的 x和 y坐标分别等于 cosθ和 sinθ。图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sinθ= y/1和 cosθ= x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。两角和公式

sin(A B)= sinAcosB cosAsinB sin(A-B)= sinAcosB-cosAsinB cos(A B)= cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)= cosAcosB sinAsinB tan(A B)=(tanA tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1 tanAtanB) cot(A B)=(cotAcotB-1)/(cotB cotA) cot(A-B)=(cotAcotB 1)/(cotB-cotA)

二、三角函数的全部公式

平常针对不同条件的常用的两个公式

（sina sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a θ）*sin（a-θ）

证明：（sina sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ a)/2] cos[(a-θ)/2]*2 cos[(θ a)/2] sin[(a-θ)/2]

我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，

即 i=h/ l,坡度的一般形式写成 l: m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作

a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a.

正弦： sinα=∠α的对边/∠α的斜边

余弦：cosα=∠α的邻边/∠α的斜边

正切：tanα=∠α的对边/∠α的邻边

余切：cotα=∠α的邻边/∠α的对边

即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)

tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）

sin3α=4sinα·sin(π/3 α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3 α)cos(π/3-α)

tan3a= tan a· tan(π/3 a)· tan(π/3-a)

=4sina(sin60° sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60 a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

三、三角函数的公式有哪些

①终边相同的角{β|β=α＋k·360°，k∈Z}表示与角终边相同的角的集合.

②象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x轴非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角.

sinα·cosα=1，cosα·secα=1，tanα·cotα=1.

sin2α＋cos2α=1，tan2α＋1= sec2α，cot2α＋1=csc2α.

① 9组诱导公式，可用十个字来概括，即“奇变偶不变，符号看象限”.

在运用以上公式时，要注意寻找角与角之间的和、差、倍、半关系．下列角度关系在变换中常被用到： 2α=(α＋β)＋(α－β)，α=(α＋β)－β等.

四、数学三角函数公式

1、sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

2、 cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

3、（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”）

4、诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）

5、sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

6、 sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

7、 cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

8、 cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

9、 tan（α＋β）＝—————— tan（α－β）＝——————

10、cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

11、化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）

12、注:⑴对与以上三角函数公式要知道其推导思路，从而清晰地“看出”三角函数之间的联系，了解三角函数公式的变化形式.如这个三角函数公式

13、从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.

14、⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备.

15、⑶三角函数恒等变形的基本策略。

16、①常值代换：这中方法是三角函数公式中基本的特别是用“1”的代换，如1=cos2θ sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

17、②项的分拆与角的配凑。也是三角函数公式解题比较常见的一种方法如分拆项：

18、还有一种使用三角函数公式的解题策略就是:配凑角(常用角变换):

19、③降次与升次。即三角函数中倍角公式降次与半角公式升次。

20、④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

21、⑤引入辅助角。三角函数会经常看到这样的公式asinθ bcosθ=

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