射影定理 射影定理公式是什么

一、什么是射影定理

1、射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。

2、射影公式：在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有a=bcosC ccosB b=ccosA acosC c=acosB bcosA。定理内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

3、任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cosC c·cosB，b=c·cosA a·cosC，c=a·cosB b·cosA。

4、注：以“a=b·cosC c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

5、由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A B)/sinA=a(sinAcosB cosAsinB)/sinA=acosB (asinB/sinA)cosA=a·cosB b·cosA。

6、参考资料来源：百度百科——射影定理

二、三角函数射影定理

三角函数射影定理又称“欧几里德定理”，定理的内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

一、公式表达为：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：

（4）AC·BC=AB·CD（等积式，可用面积来证明）。

二、证明：已知：三角形中角A=90度，AD是高。

（1）证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，所以a=BD CD=b·cosC c·cosB，同理可证其余。

（2）证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin（A B）/sinA=a（sinAcosB cosAsinB）/sinA=acosB （asinB/sinA）cosA=a·cosB b·cosA，同理可证其余。

1、定理：平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。COSθ=S射影/S原（平面多边形及其射影的面积分别是S原、S射影，它们所在平面所成锐二面角的为θ）。

因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的平方比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。

在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比，而将这个比值放到该平面三角形中去运算，即可。

三、射影定理公式是什么

1、射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。

2、在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

3、①∵CD² AD²=AC²,CD² BD²=BC²

4、∴2CD² AD² BD²=AC² BC²

5、∴2CD²=AB²-AD²-BD²

6、∴2CD²=(AD BD)²-AD²-BD²

7、∴2CD²=AD² 2AD·BD BD²-AD²-BD²

8、∴CD² AD²=AD·BD AD²

四、请问射影定理是什么怎样理解

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

此外，当这个三角形不是直角三角形但是角ABC等于角CDB时也成立。可以使用相似进行证明。

在△BAD与△BCD中，∵∠ABD ∠CBD=90°，且∠CBD ∠C=90°，

即BD^2=AD·DC。其余同理可得可证

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

有射影定理如下：AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA

两式相加得：AB^2 BC^2=AD·AC CD·AC=（AD CD)·AC=AC^2.

即AB^2 BC^2=AC^2（勾股定理结论）。

参考资料来源：百度百科——射影定律

五、三角形中的射影定理

1、直角三角形射影定理，又称“欧几里德定理”，定理的内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式表达为：如右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：①CD²;=AD·DB，②BC²=BD·BA，③AC²=AD·AB；④AC·BC=AB·CD（等积式，可用面积来证明）

2、直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中，∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：(1)(CD)^2;=AD·DB,(2)(BC)^2;=BD·BA,(3)(AC)^2;=AD·AB。等积式(4)ACXBC=ABXCD（可用面积来证明）

3、所谓射影，就是灯光投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

4、公式:如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

5、∵∠ABD ∠BAD=90°，且∠CAD ∠C=90°，

6、AB²=AD·AC，BC²=CD·CA

7、AB² BC²=AD·AC CD·AC=（AD CD)·AC=AC²（即勾股定理）。

8、注： AB²的意思是AB的2次方。

9、证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且

10、BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD CD=b·cosC c·cosB同理可证其余。

11、证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A B)/sinA=a(sinAcosB cosAsinB)/sinA

12、=acosB (asinB/sinA)cosA=a·cosB b·cosA.同理可证其余。

13、任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：

14、△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

15、注：以“a=b·cosC c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

六、什么叫射影定理

1、射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。

2、在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

3、由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。

4、此外，当这个三角形不是直角三角形但是角ABC等于角CDB时也成立。可以使用相似进行证明，过程略。

5、证明：①∵CD² AD²=AC²,CD² BD²=BC²

6、∴2CD² AD² BD²=AC² BC²

7、∴2CD²=AB²-AD²-BD²

8、∴2CD²=(AD BD)²-AD²-BD²

9、∴2CD²=AD² 2AD·BD BD²-AD²-BD²

10、∴CD² AD²=AD·BD AD²

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