复合函数求导 复合函数求导的公式是什么
来源：择校网 时间：2024-12-04 17:35:53
一、复合函数求导的公式是什么
1、复合函数定积分的计算公式为：∫f(u)du=f(u)u-∫f'(u)du。
2、一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记做y=f(g(x))。在求解定积分时，我们可以采用如下公式：∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du。
3、函数是一个数学概念，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。
4、函数的近代定义是：对于给定的数集A，假设其中的元素为x，存在一种对应法则f，记作f（x），使得A中的每一个元素x都可以通过f映射到另一个数集B中的某一元素y。此时，元素x与其对应的元素y之间的等量关系可以用y=f（x）表示。
5、函数的概念可以用下面几个公式来表示：
6、传统定义：如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。
7、近代定义：设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则，如果对X中的任意一个x，按照对应法则f，Y中存在唯一的一个元素y与之对应，则称f为从集合X到集合Y的函数。
8、映射定义：设A、B是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对A中的每个元素x，按f对应法则，在B中有唯一确定的像元素y与之对应，则称f为从A到B的映射。
9、简单定义：设A、B是两个非空集合，如果A中的一个元素x与B中的一个元素y有关系f，在数学上就称x与y有f关系。
10、函数的分类有很多种，包括一次函数、二次函数、反比例函数、正比例函数、指数函数、对数函数等等。每一种函数都有其特定的形式和性质。例如，一次函数的表达式为y=kx b，二次函数的表达式为y=ax^2 bx c，反比例函数的表达式为y=k/x等。
11、总之，函数是一个涉及变化与关系的数学概念，是数学中非常重要的基础概念之一。通过对函数的学习和研究，我们可以更好地理解和掌握数学的基础知识和应用技能。
二、复合函数怎么求导
1、总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)
2、[ln(x 2)]'=[1/(x 2)]注：此时将(x 2)看成一个整体的未知数x'×1注：1即为（x 2)的导数。
3、主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
4、f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)
5、证明：设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0
6、因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)
7、所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
8、反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
9、因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)
10、所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0)
11、设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
12、证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)
13、又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)
14、于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)
15、因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且
16、F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
17、证法二：y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
18、证明：因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u) α(lim(Δu->0)α=0)
19、当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'(u)Δu αΔu
20、但当Δu=0时，Δy=f(u Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。
21、又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx->0的极限，得
22、dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx lim(Δx->0)αΔu/Δx
23、又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时，有Δu=g(x Δx)-g(x)->0
三、复合函数如何求导
一般地，对于函数y=f(u)和u=g(ⅹ)复合而成的函数y=f(g(ⅹ))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yⅹ＇=yu＇·uⅹ＇，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x导数的乘积。
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)
[ln(x 2)]'=[1/(x 2)]【注：此时将(x 2)看成一个整体的未知数x'】×1【注：1即为(x 2)的导数】
1、分层：选择中间变量，写出构成它的内，外层函数。
2、分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数。
3、相乘：把上述求导的结果相乘。
先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。例如，复合函数求导。
1、分解的函数通常为基本初等函数。
2、求导时分清是对哪个变量求导。
4、对含有三角函数的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导。
5、分析待求导的函数的运算结构，弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的，确定所需的求导公式。
四、复合函数的求导公式是什么
1、复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)，设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。
2、设函数y=f(u)的定义域为4102Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u，有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为： y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）1653。
3、可以通过观察自变量的形式来确定此函数是否为复合函数。举个例子，如f(x)=sin(x)，自变量是x，这就是个简单的函数。
4、再如f(x)=sin²(x)，虽说自变量仍然是x，但原函数也可以换个角度，看作f(u)=u²，自变量是u=sin(x)，这样的话，sin²(x)就是个复合函数了。
5、设函数Y=f(u)的定义域为D，函数u=φ(x)的值域为Z，如果D∩Z，则y通过u构成x的函数，称为x的复合函数，记作Y=f[φ(x)]。x为自变量，y为因变量，而u称为中间变量。
五、复合函数求导怎么求
1、复合函数求导公式：①设u＝g（x），对f（u）求导得：f＇（x）＝f＇（u）＊g＇（x），设u＝g（x），a＝p（u），对f（a）求导得：f＇（x）＝f＇（a）＊p＇（u）＊g＇（x）。
2、设函数y＝f（u）的定义域为Du，值域为Mu，函数u＝g（x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u。
3、有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y＝f［g（x）］，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。
4、求函数的定义域主要应考虑以下几点：
5、⑴当为整式或奇次根式时，R的值域；
6、⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；
7、⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；
8、⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。
9、⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
10、⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
11、⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求
12、⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
13、⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
14、⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
好了，文章到此结束，希望可以帮助到大家。
