弦切角定理 弦切角定理的6种证明方法

一、弦切角定理证明过程

1、弦切角定理证明过程为：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线。

2、已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧。求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半证明：

3、分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径∴弧CmA=弧CA∵弧CA为半圆，∴弧CmA的度数为180°∵AB为圆的切线∴∠CAB=90°∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

4、（2）圆心O在∠BAC的内部。过A作直径AD交⊙O于D，在优弧m所对的劣弧上取一点E，连接EC、ED、EA。则∵弧CD=弧CD∴∠CED=∠CAD∵AD是圆O的直径。

5、∴∠BAD=90°∴∠DEA=∠BAD∴∠CEA=∠CED ∠DEA=∠CAD ∠BAD=∠BAC又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

6、以三角形任意一条边为邻边，在三角形外部作一个角等于该边的对角，那么所作角的另一边与三角形外接圆相切，切点为所作角的顶点。几何描述：设△ABP的外接圆为⊙O，在△ABP外部作∠BAC=∠BPA，则AC切⊙O于A。

7、注意定理的描述，所作角必须在三角形的外部，且该角与三角形有公共的边。该定理的等价描述为：角的度数等于所夹弧所对圆周角的角为弦切角。几何描述：设直线AC与圆相交于A，AB是圆的一条弦，P是圆上与A，B不重合的点。

8、若∠BAC=∠BPA，则∠BAC是弦切角，即AC与圆相切于A。证明：如图，同样分类讨论（1）当∠BPA=90°时，AB为直径。∠BAC=∠BPA=90°，即AB⊥AC经过直径的一端，并且与直径垂直的直线是圆的切线，∴AC是⊙O的切线，切点为A。

二、弦切角定理证明是什么

1、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。

2、如图2，已知：直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。

3、综上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

4、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。

5、与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角。

三、如何证明弦切角定理

1、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：

2、证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。

3、∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）

4、∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）

5、∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）

6、证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.

7、则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

8、那么∠CDA ∠CAD=∠CAB ∠CAD=90°

四、圆的弦切角定理

1、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角。顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

2、概念及其证明：弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半；等于它所夹的弧的圆周角度数。

3、逆定理：以三角形任意一条边为邻边，在三角形外部作一个角等于该边的对角，那么所作角的另一边与三角形外接圆相切，切点为所作角的顶点。

4、几何描述：设△ABP的外接圆为⊙O，在△ABP外部作∠BAC=∠BPA，则AC切⊙O于A。注意定理的描述，所作角必须在三角形的外部，且该角与三角形有公共的边。该定理的等价描述为：角的度数等于所夹弧所对圆周角的角为弦切角。

5、几何描述：设直线AC与圆相交于A，AB是圆的一条弦，P是圆上与A,B不重合的点。若∠BAC=∠BPA，则∠BAC是弦切角，即AC与圆相切于A。

五、弦切角定理的6种证明方法

1、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。等于它所夹的弧的圆周角度数。已知：直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。求证：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC证明：设圆心为O，连接OC，OB∵∠OCB=∠OBC∴∠OCB=1/2*(180°-∠BOC)

2、又∵∠BOC=2∠BAC∴∠OCB=90°-∠BAC∴∠BAC=90°-∠OCB又∵∠TCB=90°-∠OCB∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC综上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

3、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角。

4、弦切角定理的证明：做过切点的直径，连接弦和这条直径的另一端，先说明直径所对的圆周角是直角，然后直径和弦所在的直角三角形的两个锐角就互余，其中非经过切点的一个角称为∠P，与∠A为同弧上的圆周角，所以相等。

5、即∠A=∠P。因为过切点的直径垂直于切线，这个直径和切线组成的角为直角，弦把这个角分成两个互余小角：弦切角和那个与∠P（=∠A）互余的角。由于其中一角既和∠A互余又和弦切角互余，所以弦切角=∠A，即弦切角和所夹的弧所对的圆周角相等。

六、弦切线定理的弦切角定理

1、弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)对的圆周角等于所夹的弧的度数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角 [注，由于网上找得的图不是很完整，图中没有连结OC]

2、几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理）

3、推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

4、几何语言：∵∠1所夹的是弧MN，∠2所夹的是PQ，弧MN=弧PQ

5、∴∠COA=180°-∠OCA-∠OAC=180°-2∠CAD

6、∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数

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