不等式的基本性质 不等式的基本性质有哪些

一、不等式的基本性质有几个分别是什么

性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).

性质2:如果a>b,那么a c>b c(不等式的可加性).

性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,cd,那么a c>b d.

性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.

例1:判断下列命题的真假,并说明理由.

若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)

命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.

a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥)

说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.

例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an bn与an-1b abn-1的大小.

说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an bn>an-1b abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.

二、不等式的基本性质有哪些

不等式的基本性质包括以下几个方面：

1.不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变。

2.不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变。

3.不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向发生改变。

首先，不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变。这个性质说明，在不等式的两边进行相同的加法或减法运算，不会改变不等式的方向。例如，如果 a> b，那么 a c> b c，a- d> b- d。这个性质在日常生活中的很多场合都有应用，比如在比较两个数量大小时，我们可以把相同的部分减去，再比较剩余部分的大小。

其次，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变。这个性质表明，在不等式的两边进行相同的乘法或除法运算，如果乘除的是正数，那么不等式的方向不会改变。例如，如果 a> b，c> 0，那么 ac> bc，a/c> b/c。这个性质在数学证明和计算中非常有用，可以帮助我们在不改变不等式方向的前提下，对不等式进行变形和化简。

最后，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向发生改变。这个性质说明，如果我们在不等式的两边进行相同的乘法或除法运算，但乘除的是负数，那么不等式的方向会发生改变。例如，如果 a> b，c< 0，那么 ac< bc，a/c< b/c。这个性质也是数学中常用的一个技巧，通过乘以负数来改变不等式的方向，从而达到证明或化简的目的。

综上所述，不等式的基本性质包括三个方面：不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向发生改变。这些性质在数学中有着广泛的应用，对于解决不等式问题和进行数学证明都非常有帮助。

三、不等式有哪四种基本的形式

1、a² b²≥2ab。（当且仅当a=b时，等号成立）

2、√（ab）≤（a b）/2。（当且仅当a=b时，等号成立）

3、a b≥2√（ab）。（当且仅当a=b时，等号成立）

4、ab≤[（a b）/2]²。（当且仅当a=b时，等号成立）。

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

1、“1”的妙用。题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。

2、调整系数。有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。

从最基本的定义上来说，不等式是一个表达式，它代表着两个数字、表达式或者变量之间的大小关系。

在数学中，不等式通常用不等号来表示，例如，a≤b表示a小于等于b；而a>b表示a大于b。不等式还可以用等号表示，比如 a=b表示a等于 b；ab表示a不等于b。

证明不等式，可以直接根据不等式的性质将要证明的不等式变形、放缩，直到得到一个显然成立的不等式。要注意不等式两边同时乘一个负数时，不等式的方向要反过来。

如果要判断不等式是否成立，在不等式看起来不好证明时，可以先试图找一个反例，因为找到一个反例就能说明不等式不成立。

四、不等式的基本性质是什么

在高中数学中，不等式是一种非常常见的形式，几乎贯穿了整个高中数学的课本，相信只要是上过高中的人，都不会对不等式感到陌生。不等式就是用大于，小于，大于等于，小于等于连接而成的数学式子。那么，不等式有哪些基本性质？事实上一共有八种基本性质，分别是：

1、对称性，如果x>y，那么yy。比如，4>3，那么3<4；

2、传递性，如果x>y，y>z，那么x>z。比如，5>4，4>3，那么5>3；

3、加法单调性，即同向不等式可加性，如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x z>y z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。比如4>3，那么4 2>3 2；

4、乘法单调性，如果x>y，z>0，那么xz>yz,即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；

5、同向正值不等式可乘性，如果x>y，z<0，那么xz

6、正值不等式可乘方，如果x>y，m>n，那么x m>y n；

7、正值不等式可开方，如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；

8、倒数法则。如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂

以上就是不等式的八条基本性质，这八条基本性质在高中数学中的应用是非常广泛的，如果你是高中学生的，想要学好高中数学，就一定要牢记这八条不等式的基本性质。

五、不等式基本性质有哪些

三角不等式即在三角形中两边之和大于第三边，是平面几何不等式里最为基础的结论。广义托勒密定理、欧拉定理及欧拉不等式最后都会用这一不等式导出不等关系。

Hn≤Gn≤An≤Qn被称为平均值不等式，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。

二元均值不等式表示两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。公式为：a^2 b^2≥2ab；推广有：一般地，若a1,a2,a3,···,an,是正实数，则有均值不等式:

杨氏不等式又称Young不等式，Young不等式是加权算术-几何平均值不等式的特例，其一般形式为：假设a,b是非负实数，p＞1，1/p 1/q=1，那么：

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式（柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式），其一般形式为：

赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德(Otto Hölder）。这是一条揭示Lp空间相互关系的基本不等式。设p＞1，1/p 1/q=1，令a1,···,an和b1,···,bn是非负实数，则有：

1、应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”。所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．

2、在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式。

3、条件最值的求解通常有两种方法：

（1）一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解；

（2）二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值。

参考资料来源：百度百科—不等式

六、不等式的基本性质都有哪些

1、（5）(a1 a2 … an)/n≥(a1a2…an)^(1/n)

2、（6）2/(1/a 1/b)≤√ab≤(a b)/2≤√[(a^2 b^2)/2]

3、①如果x>y，那么yy。（对称性）

4、②如果x>y，y>z。那么x>z。（传递性）

5、③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x z>y z。（加法原则，或叫同向不等式可加性）

6、④如果x>y，z>0，那么xz>yz。如果x>y，z<0，那么xz

7、⑤如果x>y，m>n，那么x m>y n。(充分不必要条件)

8、不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号）

9、不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。（相当系数化1，这是得正数才能使用）

10、不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。（÷或×1个负数的时候要变号）

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