和差化积 和差化积和积化和差的公式

一、和积化差和差化积公式

sinα sinβ=2sin[(α β)/2]·cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α β)/2]·sin[(α-β)/2]

cosα cosβ=2cos[(α β)/2]·cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α β)/2]·sin[(α-β)/2]

tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)

cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)

tanα cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)

tanα-cotβ=-cos(α β)/(cosα·sinβ)

sinαsinβ=-[cos(α β)-cos(α-β)]/2

cosαcosβ=[cos(α β) cos(α-β)]/2

sinαcosβ=[sin(α β) sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α β)-sin(α-β)]/2

和差化积是一种计算三角函数时所使用的数学公式。和差化积公式共10组，包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式。

在应用和差化积时，必须是一次同名（正切和余切除外）三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次。

无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。

在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α和β，这两个角应该是和α β/2和α-β/2，也就是乘积项中角的形式。

注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2”。

二、和差化积公式是如何推导的

可以用积化和差公式推导，也可以由和角公式得到，以下用和角公式证明之。

两式相加、减便可得到上面的公式，同理可证明公式。

可以只记上面四个公式的第一个和第三个。

第二个公式中的，即，这就可以用第一个公式。同理，第四个公式中，，这就可以用第三个公式解决。

如果对诱导公式足够熟悉，可以在运算时把余弦全部转化为正弦，那样就只记住第一个公式就行了。用的时候想得起一两个就行了。

这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。正弦和余弦的值域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2]，因此乘以2是必须的。

也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：

参考资料：百度百科-和差化积公式

三、和差化积和积化和差的公式

1、和差化积公式：sinα sinβ=2sin[(α β)/2]cos[(α-β)/2]；sinα-sinβ=2cos[(α β)/2]sin[(α-β)/2]；cosα cosβ=2cos[(α β)/2]cos[(α-β)/2]；cosα-cosβ=-2sin[(α β)/2]sin[(α-β)/2]。

2、积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α β) sin(α-β)]；cosα·sinβ=(1/2)[sin(α β)-sin(α-β)]；cosα·cosβ=(1/2)[cos(α β) cos(α-β)]；sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α β)-cos(α-β)]。

3、和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：

4、其中前两个公式可合并为一个：sinθ sinφ=2sincos。

5、积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。

6、只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。

7、三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。

四、积化和差的公式是什么

1、sinαcosβ=【sin(α β) sin(α-β)】/2

2、cosαsinβ=【sin(α β)-sin(α-β)】/2

3、sinαsinβ=【cos(α-β)-cos(α β)】/2

4、cosαcosβ=【cos(α β) cos(α-β)】/2

5、和差化积以及积化和差公式的推导非常简单。只要掌握

6、sin(α β)、sin(α-β)、cos(α β)、cos(α-β)

7、这种最基本的三角函数展开公式，就能轻松掌握8个公式的推导

8、首先、下面这几个都是高中的内容了，要熟稔于心

9、sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ①

10、sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ②

11、cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ③

12、cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ④

13、我们看积化和差公式，我们要找的积是

14、看①②两个式子，sinαcosβ当作x cosαsinβ当作y。那么①②两个式子就相当于一个方程组了，那么很容易就能解出sinαcosβ，cosαsinβ。同理式子③④也是

15、sinαcosβ=【sin(α β) sin(α-β)】/2

16、cosαsinβ=【sin(α β)-sin(α-β)】/2

17、sinαsinβ=【cos(α-β)-cos(α β)】/2

18、cosαcosβ=【cos(α β) cos(α-β)】/2

19、得到积化和差的公式后，只要在做一个小的变换就能得到和差化积的公式了。令积化和差公式中的α β=a，α-β=b。

20、sin[(a b)/2]cos[(a-b)/2]=[sina sinb]/2

21、cos[(a b)/2]sin[(a-b)/2]=[sina-sinb]/2

22、sin[(a b)/2]sin[(a-b)/2]=[cosb-cosa]/2

23、cos[(a b)/2]cos[(a-b)/2]=[cosa cosb]/2

24、然后把右边式子的/2移到左边去，把a用字母α，b用字母β代替

五、求积化和差与和差化积的口诀及公式。

1、积化和差口诀：积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。积化和差最后的结果是和或者差；若两项相乘，后者为cos项，则积化和差的结果为两项相加。

2、积化和差跟和差化积是逆向的不需再记口诀了，口诀记多了容易混。和差化积公式口诀：

3、sinα·cosβ=(1/2)[sin(α β) sin(α-β)]

4、cosα·sinβ=(1/2)[sin(α β)-sin(α-β)]

5、cosα·cosβ=(1/2)[cos(α β) cos(α-β)]

6、sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α β)-cos(α-β)]

7、sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα

8、tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα

9、secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα

六、和差化积公式有哪些

sinα sinβ=2sin[(α β)/2]·cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α β)/2]·sin[(α-β)/2]

cosα cosβ=2cos[(α β)/2]·cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α β)/2]·sin[(α-β)/2]

tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)

cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)

tanα cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)

tanα-cotβ=-cos(α β)/(cosα·sinβ)

sinαsinβ=-[cos(α β)-cos(α-β)]/2

cosαcosβ=[cos(α β) cos(α-β)]/2

sinαcosβ=[sin(α β) sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α β)-sin(α-β)]/2

和差化积是一种计算三角函数时所使用的数学公式。和差化积公式共10组，包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式。

在应用和差化积时，必须是一次同名（正切和余切除外）三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次。

无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。

在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α和β，这两个角应该是和α β/2和α-β/2，也就是乘积项中角的形式。

注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2”。

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