幂函数的性质 幂函数的5个基本性质

一、幂函数性质是什么

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）（0,0）；

b、函数的图像在区间[0, ∞）上是增函数；

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；

当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

b、图像在区间（0， ∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近 ∞，自变量趋近 ∞，函数值趋近0。

当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：

a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。

对于α的所有非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

，如果q是奇数，函数的定义域是R;如果q是偶数，函数的定义域是[0, ∞）。

当指数α是负整数时，设α=-k，则

，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0）∪（0, ∞）。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）

反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

它是最常用的一类函数，包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。

即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数，称为初等函数。

还有一系列双曲函数也是初等函数，如sinh的名称是双曲正弦或超正弦，cosh是双曲余弦或超余弦，tanh是双曲正切，coth是双曲余切，sech是双曲正割，csch是双曲余割。初等函数在其定义区间内一定连续。

一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式。例如，三角函数y=sinx可以用无穷级数表为y=x-x3/3! x5/5!-…初等函数是最先被研究的一类函数。

它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。为了方便，人们编制了各种函数表，如平方表、开方表、对数表、三角函数表等。

二、什么是幂函数,它有什么性质

1、幂函数定义：形如y=x^a(a为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x时x≠0)等都是幂函数。

2、幂函数图像必须出现在第一象限而不是第四象限。它是否出现在第二和第三象限取决于函数的奇偶性。幂函数图像最多只能出现在两个象限中。如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点必须是原点。

3、当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：图像都经过点（1,1）(0,0）；函数的图像在区间[0, ∞)上是增函数；在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0。

4、当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：图像都通过点（1,1）；图像在区间（0， ∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近 ∞，自变量趋近 ∞，函数值趋近0。

5、参考资料来源：百度百科——幂函数

三、幂函数的性质是什么

幂函数是指形如f(x)= x^a的函数，其中a是实数。幂函数具有以下性质：

1.定义域：对于正实数a，幂函数的定义域为整个实数集R；对于负实数a，幂函数的定义域为正实数集R 。

2.奇偶性：当a为偶数时，幂函数是偶函数，即f(x)= f(-x)；当a为奇数时，幂函数是奇函数，即f(x)=-f(-x)。

3.单调性：当a>0时，幂函数在定义域上是递增的；当a<0时，幂函数在定义域上是递减的。

4.零点：当a>0时，幂函数的零点为x=0；当a<0时，幂函数没有零点。

5.渐近线：当a>0时，幂函数的图像在x轴的正半轴上有一条水平渐近线y=0；当a<0时，幂函数的图像在x轴的负半轴上有一条水平渐近线y=0。

6.图像特征：当a>1时，幂函数的图像在原点处向上开口，随着x的增大，函数值增大的速度逐渐加快；当0

四、幂函数的5个基本性质

1、定义域：幂函数的定义域是所有使得幂函数有意义的实数x的集合。对于幂函数来说，定义域为全体实数，即R。

2、值域：幂函数的值域是幂函数在定义域上能够取到的所有值的集合。对于幂函数来说，如果b>0，则值域为(0, ∞)，如果b<0，则值域为(-∞, 0)。当b=0时，幂函数的值域为{1}。

3、对称轴：幂函数的对称轴是指幂函数的图像关于该轴对称。对于幂函数来说，如果b是奇数，则对称轴为y轴（x=0）。如果b是偶数，则没有对称轴。

4、奇偶性：幂函数的奇偶性取决于指数b的奇偶性。当b是偶数时，幂函数是偶函数，即f(x)= f(-x)。当b是奇数时，幂函数是奇函数，即f(x)=-f(-x)。

5、单调性：当b>0时，幂函数是递增函数。当b<0时，幂函数是递减函数。当b=0时，幂函数是常数函数。

渐近线：当b>0时，幂函数的渐近线为x轴和y轴，即f(x)随着x的增大越来越接近x轴，并且f(x)趋近于无穷大，随着x的减小越来越接近y轴，并且f(x)趋近于0。当b<0时，幂函数的渐近线为x轴和y轴的负半轴。

1、大小比较：幂函数可以用于比较两种物质、质量、数量的大小关系。例如，若f(x)表示物品的价格，则f(x)= ax^b，其中b<1，说明价格随着数量的增加而递减。另一个常见的应用是人口增长模型，其中幂函数可以用于描述人口增长率。

2、物理学：物理学中的许多规律都可以用幂函数来描述。例如，牛顿第二定律 F=ma中，力F和加速度a之间的关系可以用幂函数来表示；体积与温度的关系，也可以用幂函数来描述。

五、幂函数的性质是什么呢

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

1、图像都经过点（1，1）（0，0）。

2、函数的图像在区间[0， ∞）上是增函数。

3、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）。

当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

2、图像在区间（0， ∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。

对于α的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

，如果q是奇数，函数的定义域是R;如果q是偶数，函数的定义域是[0, ∞）。

当指数α是负整数时，设α=-k，则

，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0）∪（0, ∞）。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

α小于0时，x不等于0；α的分母为偶数时，x不小于0；α的分母为奇数时，x取R。

六、幂函数的性质有哪些

1、（1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a≠0) a＞0时图象过点（0，0）和（1，1）。

2、（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

3、（3）当a大于1时，幂函数图形下凸；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

4、（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

5、（6）a=0，该函数为偶函数｛x|x≠0｝。

6、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a^m*a^n=a^（m n）。

7、同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a^m/a^n=a^（m-n）。

8、幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(a^m)^n=a^（mn）。

关于幂函数的性质的内容到此结束，希望对大家有所帮助。

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