在一次数学竞赛中 数学竞赛题一道

一、第八届 学用杯 全国数学知识竞赛

第八届“学用杯”全国数学知识应用竞赛

一、填空题（每小题6分，共30分）

1．在国外留学的叔叔送给聪聪一个新奇的玩具——智能小兔子．它的新奇之处在于若第一次向正南跳一下，第二次就掉头向正北跳两下，第三次又掉头向正南跳三下……而且它每跳一下的距离均为20厘米．如果小兔子第一次向正南跳，那么跳完第80次后，它在起跳点的

________（填“正南”或“正北”），距离起跳点米．

2．小张的三位朋友甲、乙、丙想破译他在电脑中设置的登录密码．但是他们只知道这个密码共有五位数字．他们根据小张平时开电脑时输入密码的手势，分别猜测密码是“51932”、“85778”或“74906”．实际上他们每个人都只猜对了密码中对应位置不相邻的两个数字．由此你知道小张设置的密码是．

3．2008年北京奥运会已经圆满结束了，除了赛场上的奥运选手给我们留下了深刻的印象，还有让我们更难忘的是赛场内外提供“微笑”服务的人——志愿者．在志愿者选拔中，来自北大、清华、北师大的三位大学生李志、文文、刘兵都有幸当上了志愿者，但他们三人分工不同，他们中有赛会志愿者、城市志愿者、社会志愿者．告诉你以下情况：（1）李志不在北大；（2）文文不在清华；（3）在北大的不是赛会志愿者；（4）在清华的是城市志愿者；（5）文文不是社会志愿者．根据这些条件，请你判断：

4．小明同学参加了学校组织的“互帮互助向明天”的活动，来指导新生如何更快地融入新的学习和生活中．小明在家制作了四份小礼品，准备送给与他“结对子”的新同学，四份小礼品分别装在形状完全一样的小长方体礼盒里，每个小长方体礼盒的长、宽、高分别是3分米，1分米，1分米．他想把它们拼成一个大长方体，外面用包装纸包好，以便带到学校，那么会有种不同的拼法，在这些拼法中包装纸最少用平方分米，最多

用平方分米（包装纸重叠部分不计）．

5．为了响应“植树造林，绿化荒山”的号召，育才中学七年级（1）班的同学在老师的带领下去山坡上种树．种完树后，老师让同学们数数一共种了多少棵树，结果大家发现：2棵2棵的数还剩1棵，3棵3棵的数还剩2棵，4棵4棵的数还剩3棵，5棵5棵的数还剩4棵，6棵6棵的数还剩5棵，7棵7棵的数正好数完．那么他们至少种了棵树．

二、选择题（每小题6分，共30分）

6．堰塞湖是一种由地震或其他原因引起的山体滑坡、熔岩流、泥石流或其他物质堵塞河谷或河床后贮水而形成的湖泊．唐家山堰塞湖是2008年四川省“5·12汶川大地震”形成的最大最险的堰塞湖，垮塌山体约达2 037万立方米，假设这些山体物质平均每立方米重3.5吨，若这些山体垮塌物全由载重为19吨的汽车来运输，要想一次运完，则需要这种汽车（四舍五入保留3个有效数字）（）

（A）3.752×106辆（B）3.75×106辆

（C）0.375×107辆（D）37.5×105辆

7．某体检中心有编号为A、B、C、D、E的五台体重计，由于长时间使用，有的称重已经不太准确．已知称同一个人的体重时，它们的差别为：C比B轻0.3千克;D比C轻0.1千克;E比A轻0.1千克;C比E轻0.1千克．巧合的是，五台体重计称量的平均数是准确的体重数．现在知道只有一台体重计称重准确，请你想一想，称重准确的体重计是（）

8．王老师在教学过程中善于把数学知识与实际生活联系在一起．在课堂上，他把全班同学分成五组，编号分别是A、B、C、D、E，每组的人数分别是10、7、9、8、6．游戏规则：当他数完1后，人数最少的那一组学生不动，其他各组各出一个人去人数最少的那组；当他数完2后，此时人数最少的那一组学生不动，其他各组再各出一个人去人数最少的那组……如此进行下去，那么当王老师数完2 008后，A、B、C、D、E五个组中的人数依次是（）

（A）9、6、8、7、10（B）7、9、6、10、8

（C）6、8、10、9、7（D）8、10、7、6、9

9．你小时候玩过积木吗？有关专家指出，搭积木游戏可以促进孩子视觉智能的成长．当孩子刚开始搭积木时，首先会学习到的是线条的排列组合，接着则是思考如何运用空间的垂直性来搭建塔楼．下面就来测试一下你搭积木的水平吧．在下列四个积木块中，能与图1完全组合拼成一个4×4×4的正方体木块的是（）

10．QQ空间是一个展示自我和沟通交流的网络平台．它既是网络日记本，又可以上传图片、视频等．QQ空间等级是用户资料和身份的象征，按照空间积分划分不同的等级．当用户在10级以上，每个等级与对应的积分有一定的关系．现在知道第10级的积分是90，第11级的积分是160，第12级的积分是250，第13级的积分是360，第14级的积分是490……若某用户的空间积分达到1 000，则他的等级是（）

三、解答题（每小题15分，共60分）

11．截至到今天，离汶川大地震已有半年多的时间了，在这场中国近三十二年来最惨烈的地震灾害中，我们再一次感受到了举国上下高涨的爱国之心、同胞之情．在一次将地震伤员转移的任务中，待转移的重症伤员暂住在A、B、C、D、E五个临时救助点，其中A处有6人，B处有4人，C处有8人，D处有7人，E处有10人．每个救助点之间的位置和距离如图2所示．现在考虑用担架将这些重症伤员转移到一个集中救助点，由救护车把他们送到邻省的医院治疗．为使运送伤员所走路程总和为最小，你认为救护车应在哪个救助点停靠？

12．为保持水土、美化环境，某中学准备在校门口到操场的道路两侧栽一些垂柳，要求路两侧树的棵数和间距均相等，且首、尾两端均栽上树．现在学校已备好一批树苗，若每间隔3米栽一棵，则缺少18棵；若每间隔3.5米栽一棵，则缺少10棵．

（1）如果每间隔4米栽一棵，则所备树苗是剩余还是不足？剩余或缺少多少棵？

（2）如果想使备用树苗够用且刚好用完，应该每间隔多少米栽一棵树?（精确到0.1米）

13．小胖是一个地地道道的金庸迷，在看完黄蓉轻而易举地填出瑛姑的方阵图后，喜欢上了这类填数字游戏．一般方阵图的填写对他来说简直就是小菜一碟，可是下面的这道题却难住了他．聪明的你快来帮帮小胖吧．如图3，在3×3方格中，已知填在三个格中的数字，做填数字游戏：要求填入数字后使各行、各列以及对角线上的三个方格中数字之和相等．请你试一试．

14．现有一批用原木加工好的、统一规格的圆柱体木材．第一批20段，直径80厘米，圆柱体高为250厘米．第二批18段，直径为100厘米，圆柱体的高为170厘米．将这些圆柱体木材用专门设备采用逐层剥皮的方法加工成厚为0.1厘米的薄木片如图4．将这些薄木片按其木纹的纵纹——横纹——纵纹——横纹——纵纹的顺序一层一层地粘贴，粘成五层胶合板（贴每层一般都可以拼接，但接缝处不留空隙），贴完后用机器把胶合板压平压实，边缘按规格裁齐，所得整张胶合板的尺寸为91厘米×182厘米．问这些木材可以做成整张的五层胶合板多少张？（π取3.14，假如加工时材料的损耗率为5%）

15．我们知道圆的周长公式为，当半径r越大，其周长也越大．请结合这个常识联系实际学习生活写一篇有教育意义的短文．

二、数学竞赛题一道

×− n−的前n项和为n S，则满足不等式| 6| 1

3.已知n(n∈ N,n≥ 2)是常数，且1 2,,,n x x x L为区间⎥⎦

函数1 2 1 2 2 3 1 f(x, x,, x) sin x cos x sin x cos x sin x cos x n n L= L 的最大值等于

4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，

那么，这些弦在圆内一共有_____个交点.

5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个

顶点之一，则它在n次爬行后恰好回到起始点的概率为.

6.设O是平面上一个定点，A, B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

uuur uuur，其中λ∈[0, ∞).则点P的轨迹为.

7.设对给定的整数m，符号ϕ(m)表示{1,2,3}中使m ϕ(m)能被3整除的唯

一值，那么ϕ(22010−1) ϕ(22010− 2) ϕ(22010− 3)= ______.

8.分别以直角三角形的两条直角边a,b和斜边c为轴将直角三角形旋转一

周，所得旋转体体积依次为,, a b c V V V，则2 2

a b V V与(2)2 c V的大小关系是.

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演

1．（本小题满分16分）是否存在实数a，使直线y= ax 1和双曲线

3x2− y2=1相交于两点A、B，且以AB为直径的圆恰过坐标系的原点？

解：设点A的坐标为1 1(x, y)，点B的坐标为2 2(x, y)，则联立原直线与双曲

线方程所得的方程组的解应当为1 1(x, y)及2 2(x, y).

将y= ax 1代入3x2− y2=1消去y，得(3− a2)x2− 2ax− 2= 0，即1 2 x, x为方

程(3− a2)x2− 2ax− 2= 0的两根.由韦达定理得1 2 2 1 2 2

以AB为直径的圆恰过坐标系的原点O等价于

由于A、B两点在直线y= ax 1上，故上式化为1 2 1 2 x x (ax 1)(ax 1)= 0，

经检验，a=±1确实满足题目条件，故存在满足题目条件的实数a.

2．（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数f: Z→{1, 2,3}，满足对

任意的整数x, y，若x− y∈{2,3,5}，则f(x)≠ f( y).

证明：假设存在这样的函数f，则对于任意整数n，设f(n)= a, f(n 5)= b，

其中a,b∈{1,2,3}.由条件知a≠ b.

由于|(n 5)−(n 2)|= 3,| n−(n 2)|= 2，故f(n 2)≠ a,b，即f(n 2)是

{1,2,3}中去掉a,b后剩下的那个数，不妨设f(n 2)= c.

又由于|(n 5)−(n 3)|= 2,| n−(n 3)|= 3，故f(n 3)= c，因此

以n 1代替n，我们得到f(n 4)= f(n 3)= f(n 2)，但这与

|(n 4)−(n 2)|= 2矛盾！因此假设不成立，即不存在这样的函数f，证毕.

3．（本小题满分20分）设非负实数a,b,c满足a b c=1，求证：

证法1先证左边的不等式，利用AM-GM不等式可得

再证右边的不等式，不妨设a≥ b≥ c,利用条件a b c=1，得

=−− −− −−

=−−−− −−≥

证法2左边的不等式同证法1，我们证明右边的不等式，这个解答利用了

韦达定理．考虑根为a,b,c的三次多项式

P(x)=(x− a)(x− b)(x− c)= x3− x2 (ab bc ca)x− abc

因为a b c=1，那么a,b,c中至多有一个数大于或等于1

P=− a− b− c<．

− ab bc ca− abc<，

即4(ab bc ca)−8abc<1，不等式得证．

− a≥− b≥− c≥，那么

− a− b≤− a − b=− a− b= c.

− a− b− c≤ abc，

三、全国初中数学竞赛问题。

2008年全国初中数学联赛第一试试题及参考答案

一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)

1.设a2 1=3a，b2 1=3b，且a≠b，则代数式 的值为()

2.如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为()

3.从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是()

4.在△ABC中，∠ABC=12°，∠ACB=132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则()

A.BM＞CN B.BM=CN C.BM＜CN D.BM和CN的大小关系不确定

5.现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为()

6.已知实数x，y满足(x-)(y-)=2008，则3x2-2y2 3x-3y-2007的值为()

二、填空题：(本题满分28分，每小题7分)

2.如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM=，∠MAN=135°，则四边形AMCN的面积为_______________.

3.已知二次函数y=x2 ax b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且|m| |n|≤1.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则|p| |q|=___________.

4.依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 _________.

解答：一、1.由题设条件可知a2-3a 1=0，b2-3b 1=0，且a≠b，

所以a，b是一元二次方程x2-3x 1=0的两根，故a b=3，ab=1.

2.因为AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆，

于是△AEF∽△ABC，故==，即cos∠BAC=，所以sin∠BAC=.

在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6×=.

3.能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个，所以所组成的数是3的倍数的概率是=.

4.∵∠ABC=12°，BM为∠ABC的外角平分线，∴∠MBC=(180°-12°)=84°.

又∠BCM= 180°-∠ACB=180°-132°=48°，∴∠BCM=180°-84°-48°=48°.

∴BM=BC.又∠ACN=(180°-∠ACB)=(180°-132°)=24°，

∴∠BNC=180°-∠ABC-∠BCN= 180°-12°-(∠ACB ∠CAN)=12°=∠ABC.

5.容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.

设5种商品降价前的价格为a，过了n天，n天后每种商品的价格一定可以表示为a·(1-10%)k·(1-20%)n-k=a·()k·()n-k，其中k为自然数，且0≤k≤n，要使r的值最小，五种商品的价格应该分别为：a·()i·()n-i，a·()i 1·()n-i-1，a·()i 2·()n-i-2，a·()i 3·()n-i-3，a·()i 4·()n-i-4.

其中i为不超过n的自然数，所以r的最小值为=()4.

由以上两式可得x=y，所以(x-)2=2008.解得x2=2008.

所以3x2-2y2 3x-3y-2007=3x2-2x2 3x-3x-2007=x2-2007=1.

二、1.∵a2=()2==1-a，∴a2 a=1.

2.设BD中点为O，连AO，则AO⊥BD，AO=OB=，MO==，

∴MB=MO-OB=.又∠ABM=∠NDA=135°，

∠NAD=∠MAN-∠DAB-∠MAB=135°-90°-∠MAB=45°-∠MAB=∠AMB，

所以△ADN∽△MBA，故=，从而DN=·BA=×1=.根据对称性可知，

四边形AMCN的面积S=2S△MAN=2××MN×AO=2××( )×=.

3.根据题意，m，n是一元二次方程x2 ax b=0的两根，所以m n=-a，mn=b.

∵|m| |n|≤1，∴|m n|≤|m| |n|≤1，|m-n|≤|m| |n|≤1.

∵方程x2 ax b=0的判别式△=a2-4b≥0，∴b≤=≤.

4b=4mn=(m n)2-(m-n)2≥1-(m-n)2≥-1，故b≥-，等号当m=-n=时取得；

4b=4mn=(m n)2-(m-n)2≤1-(m-n)2≤1，故b≤，等号当m=n=时取得.所以p=，q=-，于是|p| |q|=.

4.12到32，结果都只各占1个数位，共占1×3=3个数位；42到92，结果都只各占2个数位，共占2×6=12个数位；102到312，结果都只各占3个数位，共占3×22=66个数位；322到992，结果都只各占4个数位，共占4×68=272个数位；1002到3162，结果都只各占5个数位，共占5×217=1085个数位；此时还差2008-(3 12 66 272 1085)=570个数位.3172到4112，结果都只各占6个数位，共占6×95=570个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是4112的个位数字，即为1.

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（）

延长CA至D，使AD＝AB，则，所以△CBD∽△DAB，所以，故，所以.又因为，所以.

3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为（）

由方程得，而，所以，即，解得，从而只可能取值.

4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）

不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：

（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为；

（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O，这样的三角形也有4个，它们的面积都为.

所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.

要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则 CBE＝（）

因为AB⊥BC，AE⊥OE，所以A、B、O、E四点共圆，故∠BAE＝∠COE.

又AB＝AE，OC=OE，所以△ABE∽△OCE，因此，即.

6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是（）

设，则，它为完全平方数，不妨设为（其中为正整数），则.

验证易知，只有当时，上式才可能成立.对应的值分别为50，20，10，2.

因此，使得为完全平方数的共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.

因为是关于的一元二次方程的两个非负实根，所以

2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.

设△ABC的面积为,则因为△ADE∽△ABC，所以.

3．如果实数满足条件，，则 ______.

从而，因此，即，整理得，解得（另一根舍去）.

4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_____对.

设（为正整数），则，故为有理数.

令，其中均为正整数且.从而，所以，故，所以.

（1）时，有，即，易求得或（3,6）或（6,3）.

因此，这样的有序数对共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.

一．（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.

（1）证明：⊙P与轴的另一个交点为定点.

（2）如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值.

解（1）易求得点的坐标为，设，，则，.

设⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则.

因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).…………………………………10分

（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，

即.…………………………………15分

解得.…………………………………20分

二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求.

在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.

又CD⊥AB，由射影定理可得，故，

.…………………………………5分

因为 E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以＝.

…………………………………10分

连接D、D，则D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠ DC＝∠ DA＝∠ DC＝∠ DB＝45°，故∠ D＝90°，所以 D⊥ D，

.…………………………………15分

同理，可求得，.…………………………………20分

所以＝.…………………………………25分

三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：

证明：以为三边长可构成一个直角三角形.

即，………………………………10分

即，………………………………15分

即，…………………………………20分

因此，以为三边长可构成一个直角三角形.……………………………25分

变形，得③………………………10分

即.…………………………………15分

因此，以为三边长可构成一个直角三角形.……………………………25分

一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF‖AB.

解因为BN是∠ABC的平分线，所以.

因此.…………………………………10分

又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四点共圆.

…………………………………15分

又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.…………………………………20分

又AB⊥CH，所以EF‖AB.…………………………………25分

三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.

一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：

是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.

即，………………………………10分

即，………………………………15分

即，…………………………………20分

因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.

变形，得③………………………10分

即.…………………………………15分

因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.

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