值域 什么是值域什么是定义域

一、什么是值域什么是定义域

1、值域是在函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。

2、定义域（domain of definition）指自变量x的取值范围，是函数三要素(定义域、值域、对应法则）之一，对应法则的作用对象。求函数定义域主要包括三种题型：抽象函数，一般函数，函数应用题。

3、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

4、换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

二、函数的值域是什么

1、函数的值域是指函数的范围!比如 y=3x 6, x是自变量,y是因变量!就是说 y随着 x的改变而改变,这个函数的值域是指 y的取值范围,定义域是指 x的取值范围.值域由定义域和函数的性质决定!

2、定义域（domain of definition）指自变量x的取值范围，是函数三要素(定义域、值域、对应法则）之一，对应法则的作用对象。求函数定义域主要包括三种题型：抽象函数，一般函数，函数应用题。

3、定义域是指使函数式有意义的所有自变量构成的集合，自然定义域是加上人为规定因素的定义域的子集。

4、自然定义域，是指对抽象地用算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合。定义域范围更大，使得抽象表达式有意义的自定义范畴。

5、定义域（Domain）,在数学中可以被看作为函数的所有输入值的集合，自然定义域,在数学中可以被看作为函数的所有自然数输入值的集合。

6、函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，根据实际背景中的变量的实际意义确定。

7、例如，在自由落体运动中，设物体下落的时间为t,下落的距离为s,开始下落的时刻t=0，落地的时刻t=T，则s与t之间的函数关系是S=1/2*gt^2,t∈[0,T]。

8、另一种是对抽象地用算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域。

9、在这种约定之下，一般的用算式表达的函数可用“y=f(x)”表达，而不在表出其定义域。例如，函数y=1/(1 x)的定义域是区间（-∞，-1）∪（-1， ∞）。

三、定义域和值域是什么

1、定义域指的是自变量的取值范围；值域是指因变量的取值范围。

2、自变量是指研究者主动操纵，而引起因变量发生变化的因素或条件，因此自变量被看作是因变量的原因。因变量（dependent variable），函数中的专业名词，函数关系式中，某些特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量。

3、如：Y=f(X)，此式表示为：Y随X的变化而变化，Y是因变量，X是自变量。

4、函数y=x² 2这个函数的自变量的取值范围就是实数域即R。

5、∴x可以取任何值，其定义域就是R。

6、又当x∈R时函数y的最小值为2，在x=0处取得。

7、函数经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域,在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}

8、y=k/x的值域为(-∞,0)∪(0, ∞)。

9、y=ax^2 bx c当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a, ∞)。

10、当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a]。

四、值域怎么求

1、函数经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域,在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}

2、y=ax^2 bx c当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a, ∞);

3、当a<0时，值域为(-∞，4ac-b^2/4a]

4、在解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。

5、把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*求解，把的解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法;

6、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。

7、通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

8、例如在分解(x² x 1)(x² x 2)-12时，可以令y=x² x,则原式=(y 1)(y 2)-12=y² 3y 2-12=y² 3y-10=(y 5)(y-2)=(x² x 5)(x² x-2)=(x² x 5)(x 2)(x-1).例2，(x 5) (y-4)=8(x 5)-(y-4)=4令x 5=m,y-4=n原方程可写为 m n=8 m-n=4解得m=6,n=2所以x 5=6,y-4=2所以x=1,y=6注意:换元后勿忘还原。

9、利用函数和他的反函数定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域;

五、求值域的五种方法

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。

2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。

3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。

4.拆分法：对于形如y=cx d，ax b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。

5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。

6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。

这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。

10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。

例题：y=(3x-1)/(3x-2)

先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)

值域，在函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。

在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数。

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或淡化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数的定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。

参考资料：百度百科-值域（数学名词，函数经典定义）

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