等比数列的性质 等比数列的性质有哪些

一、等比数列的性质是什么

1、(3)求和公式：Sn=n×a1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)(q为比值，n为项数）

2、(4)性质：①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am×an=ap×aq；②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m n=2q，则am×an=aq^2

3、(5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab（G≠ 0）".

4、(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。

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二、等比数列的性质有哪些

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列(Geometric Sequences)。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)且等比数列a1≠ 0。。注：q=1时，为常数列。（1）通项公式：（2）求和公式：Sn=(a1-anq)/1-q求和公式用文字来描述就是：Sn=（首项-末项*公比）÷（1-公比）任意两项，的关系为；在运用等比数列的前n项和时，一定要注意讨论公比q是否为1.（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：（4）等比中项：若，那么为等比中项。记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n 1=(an 1)2n 1。另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。等比中项公式：或者。（5）无穷递缩等比数列各项和公式：无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。(6)由等比数列组成的新的等比数列的公比：{an}是公比为q的等比数列1.若A=a1 a2 …… anB=an 1 …… a2nC=a2n 1 ……a3n则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q^n2.若A=a1 a4 a7 …… a3n-2B=a2 a5 a8 …… a3n-1C=a3 a6 a9 …… a3n则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q

(1)若m、n、p、q∈N*，且m n=p q，则am*an=ap*aq。(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。(3)若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab（G≠0）”。(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。(5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。(6)若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。(7)等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。注意：上述公式中A^n表示A的n次方。(8)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

（1）待定系数法：已知a（n 1）=2an 3，a1=1，求an？构造等比数列a（n 1） x=2（an x）a（n 1）=2an x，∵a（n 1）=2an 3∴x=3∴（a（n 1） 3）/（an 3）=2∴{an 3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以an 3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n 1)-3（2）定义法：已知Sn=a·2^n b,，求an的通项公式？∵Sn=a·2^n b∴Sn-1=a·2^n-1 b∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1

等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式——复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1 利率)^存期。

三、等比数列的具体性质有哪些

1、(1)若 m、n、p、q∈N*，且m n=p q，则am*an=ap*aq；

2、(2)在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.

3、(3)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.

4、(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。

5、（5）等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。

6、（6）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。

7、(7)等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)

8、(8)数列{An}是等比数列，An=pn q，则An K=pn K也是等比数列，在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

9、(9)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

四、等比数列有什么性质

1、等比数列性质：在等比数列{an}{an}中，若m n=p q=2k(m,n,p,q,k∈N_)m n=p q=2k(m,n,p,q,k∈N_），则am_an=ap_aq=a2kam_an=ap_aq=ak2。

2、《等比数列的性质》是连南瑶族自治县民族高级中学提供的微课课程，主讲老师是潘卫萍。

3、这个微课的内容首先是给出具体的等比数列来复习等比数列的定义、通项公式、等比中项的公式，然后让学生通过简单的运算。

4、由运算的结果得出等比数列的性质，小结时还把等差数列与等比数列从定义、通项公式、中项、重要性质这四个方面以表格的形式给出

五、等比数列的定义和性质是什么

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．

由a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，……，归纳得出an=a1qn－1.此公式对n=1也成立.

如果在a与b中间插入一个数g，使a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项．

（1）、an=an－1·q（n≥2），q是不为零的常数，an－1≠0{an}是等比数列.

（2）、an2=an－1·an＋1（n≥2,

an－1,an,an＋1≠0）{an}是等比数列.

（3）、an=c·qn（c，q均是不为零的常数）{an}是等比数列.

设{an}为等比数列，首项为a1，公比为q.

0时，{an}是递减数列；当q=1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列.

（2）、an=am·qn－m（m、n∈n*）.

（3）、当m＋n=p＋q（m、n、q、p∈n*）时，有am·an=ap·aq.

（4）、{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积.

（5）、数列{λan}（λ为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为qq′的等比数列；数列是公比为的等比数列；{|an|}是公比为|q|的等比数列.

（6）、在{an}中，每隔k(k∈n*)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.

（7）、当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列.

（8）、{an}中，连续取相邻两项的和（或差）构成公比为q的等比数列.

（9）、若m、n、p（m、n、p∈n*）成等差数列时，am、an、ap成等比数列.

设等比数列a1,a2,a3,…,an，…，它的前n项和是sn=a1＋a2＋…＋an，根据等比数列的通项公式可将sn写成sn=a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.…①

①两边乘以q得qsn=a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn

由此得q≠1时等比数列{an}的前n项和的公式.

因为an=a1qn－1，所以上面公式还可以写成

一般地，如果a1,q是确定的，那么

（1）、若某数列前n项和公式为sn=an－1(a≠0,±1)，则{an}成等比数列.

（2）、若数列{an}是公比为q的等比数列，则

（ⅱ）、在等比数列中，若项数为2n(n∈n*)，则

（ⅲ）、sn,s2n－sn,s3n－s2n成等比数列.

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