循环小数化分数 如何将循环小数转化为分数

一、如何将循环小数转化为分数

方法：将纯循环小数改写为分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同，最后能约分的再约分。

方法：将混循环小数改写为分数，分子就是循环节中小数部分的数字组成的数减去小数部分中不循环部分数字组成的数而得到的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同。

13.12323…=13 (123-1)/990=6496/495

0.12333…=(123-12)/900=111/900=37/300

把上面的结论特点统一一下就是：如果循环节加上不循环的数位总共有多少位，那么分母就是多少位的9 0，9的个数等同循环节位数，0的个数等同不循环的位数；分子等于=小数点后不循环的数字加第一个循环节构成的数字，再减去小数点后不循环的数字。

二、循环小数怎么化成分数

一、从小数点后就开始的循环小数化成分数：例如把0.4747……化成分数。

（1）0.4747……×100=47.4747……

（2）0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747……

二、间隔几位的循环小数化分数：例如把0.325656……化成分数。

（1）0.325656……×100=32.5656……①

（2）0.325656……×10000=3256.56……②

（3）用②－①即得:0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……

（4）0.325656……×9900=3256－32

1、首先看小数点后面有几位数，如果是2位就除以100，是1位除以10，三位数除以1000，以此类推。

2、然后分子和分母约分到不能再约分为止。

3、拿0.12做列子，变成12/100，上下可以用4约分，变成3/25.

小数的大小比较：先看整数部分，整数部分较大的，这个数就大；整数部分相同就看十分位，十分位较大的，这个数就大；十分位相同就看百分位，百分位较大的，这个数就大。以此类推。

三、怎样把循环小数化为分数

1、如是纯循环小数，循环节有几位，分母就有几个9。例：

2、如是混循环小数，循环节有几位，分母就有几个9；不循环的数字有几位，9后面就有几个0，分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。

例：0.12（2循环）=(12-1)/90=11/90

注意：最后结果不是最简分数就要约分。

从小数部分第一位开始的循环小数，称为纯循环小数．纯循环小数是从十分位开始循环的小数，如0.33333333...(1/3),0.1428571428571....(1/7)等。顾名思义，纯循环小数就是在纯小数的基础上变成循环小数。

循环节不是从小数部分第一位开始的，叫混循环小数。

例如：1.2333333……、13.0984343434343……等。

可以观察到：1.2333333……的循环节在3上面。

四、如何把循环小数化成分数

日本野口哲典在《天哪！数学原来可以这样学》中介绍了如何将循环小数转化成分数的方法，现介绍如下：

1.循环小数0.7272……循环节为7，2两位，因此化为分数为72/99=1/8.即有几位循环数字就除以几个9。又如0.123123……循环节为1，2，3三位，因此化为分数为123/999=41/333.

这种方法只适用于从小数点后第一位就开始循环的小数，如果不是从第一位就开始循环的小数，必须用下面的方法。

2.循环小数0.41666……先把0.41666……乘以100得41.666……，可以理解为41 0.666……，所以写成分数为41 6/9=41 2/3=125/3.因为开始乘以了100，所以再除以100，即125/3÷100=125/300=5/12.

循环小数分为混循环小数、纯循环小数两大类。混循环小数可以*10^n（n为小数点后非循环位数），所以循环小数化为分数都可以最终通过纯循环小数来转化。

1、有限小数化成分数：分母的首位数是1后面是0，0的个数与小数位数的个数相同，分子是把有限小数取作整数，把小数点右边的数看作整数作为分子，但不包括小数点右边十分位、百分位、千分位，...上的0，能约分的要化简，譬如：将0.678化为分数，即678/1000=339/500，0.1681=1681/10000，0.087=87/1000，0.0078=78/10000=39/5000，...；

譬如：将2.18化成分数，解：因为2.18=2 0.18，所以，2.18=2 0.18=2 （18/100）=2 （9/50）=109/50，把3.1415化成分数，∵3.1415=3 0.1415，∴3.1415=3 （1415/10000）=3 （283/2000）=6283/2000，等等以此类推，能约分的一定要化简；

3、负小数化成分数其法则、方法与以上相同：

˙186˙=-186/999=-62/333，-0.0˙87˙=-87/990=-29/330，-0.5678=-5678/10000=-2839/5000，等等依次类推，能约分的一定要化为最简分数。

用9和0做分母，首先有一个循环节有几位数字就几个9，接着有几个没加入循环的数就加几个0，再用第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差做分子。

比如0.43，3的循环，有一位数没加入循环，就在9后面加一个0做分母，再用43减4做分子，得 90分之39，0.145，5的循环就用9后面加2个0做分母，再用145减14做分子，得900分之131，0.549，49的循环，就用99后面加1个0做分母，用549减5做分子，最后得990分之545，以此类推，能约分的要化简。

五、循环小数如何化成分数

循环小数化分数的公式：ab(ab循环)=(ab/99)。纯循环小数化成分数的法则是：下一个循环节作为分子，连写几个9作为分母，9的个数等于一个循环节的位数。

循环小数化成分数的法则是：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

1、纯循环小数：自小数点后的十分位开始循环，比如：0.3333333……就是纯循环小数。

2、混循环小数：自小数点后十分位不开始循环，后面才开始循环，比如：0.322222222222……就是混循环小数。

六、怎样化循环小数为分数

1、纯循环小数化成分数的法则是：抄下一个循环节作为分子；连写几个9作为分母，9的个数等于一个循环节的位数。

例如：0.7272……循环节为7，2两位，因此化为分数为72/99=1/8；

2、混循环小数化成分数的法则是：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

例如0.41666……化成分数，第二个循环节以前的小数部分组成的数416，小数部分中不循环部分组成的数41，差是416-41=375作为分子；循环节中的位数是1位，9的个数是1，不循环部分的位数是2位，0的个数是2，900作为分母。因此化为分数为375/900=5/12。

无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。

则0.33333.....=3*10^(-1) 3*10^(-2) …… 3*10^(-n) ……

前n项和为：0.3[1-(0.1)^(n)]/(1-0.1)

则0.9999.....=9*10^(-1) 9*10^(-2) …… 9*10^(-n) ……

前n项和为：{0.9*[1-（0.1）^n]}/(1-0.1)

例：0.12111…… 1的循环，同样，我们设此小数为x，可得：

1000x-100x=121.111……-12.111……

例：将无限循环小数0.123(·)化成分数：

解题：已知无限循环小数：0.123(·)，将已知无限循环小数0.123(·)的未知分数设为X,

∴X=0.123(·)——1式，（1式）两边同时乘以10得：

10X=1.23(·)——2式，（2式）-（1式）得：9X=1.11，X=1.11/9，

X=0.37/3，X=37/300，∴X=0.123(·)=37/300，即：0.123(·)=37/300

X·10∧（a c）-x·10∧a，这里的a是小数点后的循环节前的数字的位数，c代表循环节位数。

参考资料：百度百科--无限循环小数化分数

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