概率论与数理统计试卷及答案 概率论与数理统计的题

一、2004年7月高等教育自学考试概率论与数理统计(二)试题

一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题2分，共12分）

1.设随机事件A与B互不相容，且有P（A）>0，P（B）>0，则下列关系成立的是（）。

A. A，B相互独立 B. A，B不相互独立

C. A，B互为对立事件 D. A，B不互为对立事件

2.已知P（A）=0.3，P（B）=0.5，P（A∪B）=0.6，则P（AB）=（）。

A. 0.15 B. 0.2

C. 0.8 D. 1

3.设随机变量X～B（100，0.1），则方差D（X）=（）。

A. 10 B. 100.1

C. 9 D. 3

4.设随机变量X～N（-1，5），Y～N（1，2），且X与Y相互独立，则X-2Y服从（）分布。

A. N（-3，1） B. N（-3，13）

C. N（-3，9） D. N（-3，1）

5.设随机变量X的概率密度为f（x）=则区间（a，b）是（）。

A.（0，） B.（-，0）

C.（-π，π） D.（-，）

6.设随机变量X～U（0，2），又设Y=e-2X，则E（Y）=（）。

A.（1-e-4） B.（1-e-4）

C.D.- e-4

在以下计算中，必要时可以用Φ（）表示计算结果，这里Φ（x）是标准正态N（0，1）的分布函数。

二、填空题（每空2分，共30分）

7.已知P（A）=0.3，P（B）=0.5，P（A∪B）=0.8，那么P（）=______，P（）=______.

8.一袋中装有两种球：白色球和花色球。已知白色球占总数的30%，又在花色球中有50%涂有红色。现从袋中任取一球，则此球涂有红色的概率为______.

9.观察四个新生儿的性别，设每一个出生婴儿是男婴还是女婴概率相等，则恰有2男2女的概率为______.

10.同时掷3颗骰子，则至少有一颗点数为偶数的概率为______.又若将一颗骰子掷100次，则出现偶数点的次数大于60次的概率近似为______.

11.设X～N（5，4），若d满足P（X>d）=Φ（1），则d=______.

12.已知X服从两点分布，其分布列为

X 0 1

pk 0.4 0.6

13.袋中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的7张卡片，今从袋中任取3张卡片，则所取出的3张卡片中有6无4的概率为______.

14.设随机变量X有密度

f（x）=

则K=______

15.设总体X～N（μ，），X1，X2，X3，X4是来自X的样本，是样本均值，S2是样本方差，则～______，～________，Cov（2X1，X3）=________，E（S2）=________，E［（X1-X2）2］=______.

三、计算题（第16小题8分，第17、18小题各10分，共28分）

16.设电流I（安）的概率密度为f（x）=电阻R的概率密度为g（y）=

设I2与R相互独立。

试求功率W=I2R的数学期望。

17.设随机变量X，Y有联合概率密度

f（x，y）=

①确定常数c

②X，Y是否相互独立（要说明理由）。

18.设某批鸡蛋每只的重量X（以克计）服从N（50，52）分布，

（1）从该批鸡蛋中任取一只，求其重量不足45克的概率。

（2）从该批鸡蛋中任取5只，求至少有2只鸡蛋其重量不足45克的概率。

四、综合题（每小题10分，共20分）

19.加工某种零件，如生产情况正常，则次品率为3%，如生产情况不正常，则次品率为20%，按以往经验，生产情况正常的概率为80%，①任取一只零件，求它是次品的概率。②已知所制成的一个零件是次品，求此时生产情况正常的概率。

20.设某大学中教授的年龄X～N（μ，），μ，均未知，今随机了解到5位教授的年龄如下：

3954617259

试求均值μ的置信度0.95的置信区间（t0.025（4）=2.7764）

五、应用题（共10分）

21.某批矿砂的7个样本中镍含量经测定为（%）

3.253.273.233.243.263.273.24

设该测定值总体X服从正态分布，N（μ，σ2），μ，σ2均未知，取α=0.01检验假设

H0∶μ=3.25 H1∶μ≠3.25

（t0.005（6）=3.7074）

二、概率论与数理统计的题

一、简答题

1、集合与事件，属于不同领域的数学课题，不完全等价，但在很多地方的性质很相似。

例如，集合的一些运算（交并补）与事件的运算（和、积、对立），是相通的。

某种程度上，可以讲随机事件是样本空间的子集合，这样的话，就能明显看出两者之间的联系了。

2、伯努利试验，就是在相同条件下重复做n次的试验，称为n次独立重复试验，即伯努利试验。

3、条件概率举例：

有一同学，考试成绩数学不及格的概率是0.15，语文不及格的概率是0.05，两者都不及格的概率为0.03，在一次考试中，已知他数学不及格，那么他语文不及格的概率是多少？

记事件A为“数学不及格”，事件B为“语文不及格”,则P(A)=0.15 P(B)=0.05, P(AB)

=0.03则P(B︳A)=P(AB)/P(A)=0.2

4、简单随机样本，就是简单随机抽样得到的样本。

简单随机抽样也称为单纯随机抽样、纯随机抽样、SRS抽样，

是指从总体N个单位中任意抽取n个单位作为样本,

使每个可能的样本被抽中的概率相等的一种抽样方式。

简单随机样本具有独立同分布的性质,普通的样本没有这种性质.

5、连续性随机变量密度函数积分就是分布函数。

有个性质是(-∞, ∞)上的积分等于1

而且如果X的分布函数是F(x)，密度函数在(-∞,x]上的积分等于F(x)的函数f(x)

另外还有个重要性质，是连续型随机变量的密度函数不是唯一的。

具体来讲：

随机变量的分布函数是唯一的，不论是连续型还是离散型的。

但连续型随机变量的密度函数不是唯一的。

如果X的分布函数是F(x)，只要在(-∞,x]上的积分等于F(x)的函数f(x)，都可以说是X的密度函数。我们知道，改变被积函数有限多个点的函数值（实际上即使改变可列无穷多个点的函数值），积分结果是不会改变的。所以已知分布函数求密度函数时，分段点处是不必用定义求导数的，随便定义密度函数在该点处的值都无所谓的。

又例如，X服从[0，1]上的均匀分布，密度函数写成

f(x)=1(0

其余题目，帮不了你了，自己想办法吧。

三、概率论与数理统计第四版课后答案

1.[一]写出下列随机试验的样本空间

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）

o1n?100?S???,???，n表小班人数

n??nn（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2）

S={10，11，12，???，n，???}

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。（[一](3)）

S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二]设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1）A发生，B与C不发生。表示为：

ABC或A－(AB AC)或A－(B∪C)

（2）A，B都发生，而C不发生。表示为：

ABC或AB－ABC或AB－C

表示为：A B C

（3）A，B，C中至少有一个发生

（4）A，B，C都发生，表示为：ABC

表示为：ABC或S－(A B C)或A?B?C

（5）A，B，C都不发生，

（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。故表示为：AB?BC?AC。（7）A，B，C中不多于二个发生。

相当于：A,B,C中至少有一个发生。故表示为：A?B?C或ABC（8）A，B，C中至少有二个发生。

相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故表示为：AB BC AC

6.[三]设A，B是两事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7.问(1)在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由P(A)= 0.6，P(B)= 0.7即知AB≠φ，（否则AB=φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P(A) P(B)=0.6 0.7=1.3>1与P(A∪B)≤1矛盾）.

从而由加法定理得

P(AB)=P(A) P(B)－P(A∪B)

(*)

（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为 P(AB)=P(A)=0.6，

（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为 P(AB)=0.6 0.7－1=0.3。

7.[四]设A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?1.求A，B，C至少有一个发生的概率。 81,P(AB)?P(BC)?0，4解：P(A，B，C至少有一个发生)=P(A B C)= P(A) P(B) P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC) P(ABC)=

315??0? 4888.[五]在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26

个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？

记A表“能排成上述单词”

2∵从26个任选两个来排列，排法有A26种。每种排法等可能。

字典中的二个不同字母组成的单词：55个∴

P(A)?5511?2A261309.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2??9）

记A表“后四个数全不同”

∵后四个数的排法有104种，每种排法等可能。

4后四个数全不同的排法有A10

∴

4A10P(A)?4?0.504

1010.[六]在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。

（1）求最小的号码为5的概率。

记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A

10?∵ 10人中任选3人为一组：选法有??3?种，且每种选法等可能。??5?又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有1???2???∴

5?1???2????1 P(A)?12?10??3???（2）求最大的号码为5的概率。

10?记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有??3?种，且??

4?每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有1???2???种

4?1???2????1 P(B)?20?10??3???11.[七]某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？

记所求事件为A。

9在17桶中任取9桶的取法有C17种，且每种取法等可能。

432?C4?C3取得4白3黑2红的取法有C10

故

432C10?C4?C3252 P(A)??62431C1712.[八]在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。记“恰有90个次品”为事件A

1500?∵在1500个产品中任取200个，取法有??200?种，每种取法等可能。

??400??1100?200个产品恰有90个次品，取法有??90??110?种

?????400??1100??90??110?????

P(A)??1500??200???∴

（2）至少有2个次品的概率。记：A表“至少有2个次品”

B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法

1100??400??1100?有??200?种，200个产品含一个次品，取法有?1??199?种??????∵

A?B0?B1且B0，B1互不相容。

∴

??1100???200????P(A)?1?P(A)?1?[P(B0)?P(B1)]?1??1500????200??????400??1100???1??199??????

??1500???200?????13.[九]从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？记A表“4只全中至少有两支配成一对”则A表“4只人不配对”

10?∵从10只中任取4只，取法有??4?种，每种取法等可能。

??要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有

?5??24?4????P(A)?4C5?244C10?821813?2121

P(A)?1?P(A)?1?15.[十一]将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？

记Ai表“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能

对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法43332种。(选排列：好比3个球在4个位置做排列)

P(A1)?4?3?26?31642?4?3种。对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有C3

2(从3个球中选2个球，选法有C3，再将此两个球放入一个杯中，选法有4

种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。

2C3?4?3P(A2)?43?9 16对A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此

3个球，选法有4种)

P(A3)?41?316416.[十二] 50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部

件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？

记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。法一：用古典概率作：

把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）

3333?C47?C44???C23对E：铆法有C50种，每种装法等可能

3333?C47?C44??C23对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有〔C3〕×10

种

3333[C3?C47?C44???C23]?10333C50?C47????C23P(A)??1?0.00051 1960法二：用古典概率作

把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）

3对E：铆法有A50种，每种铆法等可能

对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，?或“28，29，

327327327327?A47?A3?A47????A3?A47?10?A3?A4730”位置上。这种铆法有A3种

32710?A3?A4730A50P(A)??1?0.00051 196017.[十三]已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,求P(B|A?B)。解一：

P(A)?1?P(A)?0.7,P(B)?1?P(B)?0.6,A?AS?A(B?B)?AB?AB注意(AB)(AB)??.故有

P(AB)=P(A)－P(AB)=0.7－0.5=0.2。再由加法定理，

P(A∪B)= P(A) P(B)－P(AB)=0.7 0.6－0.5=0.8于是P(B|A?B)?P[B(A?B)]P(AB)0.2???0.25

P(A?B)P(A?B)0.8解二:P(AB)?P(A)P(B|A)?由已知???05?07?P(B|A)?P(B|A)?0.5521??P(B|A)?故P(AB)?P(A)P(B|A)?0.77751P(BA?BB)P(BA)5P(B|A?B)定义???0.25P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.6?0.5

18.[十四] P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?,求P(A?B)。 43211?定义P(AB)P(A)P(B|A)由已知条件143?P(B)?1???????有?解：由P(A|B)P(B)P(B)2P(B)6由乘法公式，得P(AB)?P(A)P(B|A)?1 121111??? 46123由加法公式，得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?

19.[十五]掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。

解：（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P(A|B)，即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。

掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且满足x, y=7，则样本空间为

S={(x, y)|(1, 6),(6, 1),(2, 5),(5, 2),(3, 4),(4, 3)}每种结果（x, y）等可能。

A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故P(A)?21?} 63方法二：（用公式P(A|B)?P(AB) P(B)S={(x, y)| x=1,2,3,4,5,6; y= 1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能

A=“掷两颗骰子，x, y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x, y=7”。则

P(B)?612，?,P(AB)?2266622P(AB)216???故P(A|B)?P(B)163620.[十六]据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P{孩子得病}=0.6，P(B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P(C|AB)=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。

解：所求概率为P(ABC)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P(C|AB)

P(AB)= P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P(C|AB)=1－P(C|AB)=1－0.4=0.6.从而P(ABC)= P(AB)· P(C|AB)=0.3×0.6=0.18.

21.[十七]已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。

（1）二只都是正品（记为事件A）

法一：用组合做在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。

C8228P(A)?2??0.62

C1045法二：用排列做在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。

2A82A10P(A)?

?28 45法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记A1，A2分别表第一、二次取得正品。

P(A)?P(A1A2)?P(A)P(A2|A1)?（2）二只都是次品（记为事件B）

8728??10945法一：P(B)?2C22C10?1 45法二：P(B)?2A22A10?1 45法三：

P(B)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?211??10945（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）

法一：P(C)?11C8?C22C10?16 45法二：P(C)?112(C8?C2)?A22A10?16 45

法三：

P(C)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥

?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?281682???10910945（4）第二次取出的是次品（记为事件D）

法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，

法二：P(D)?11A9?A22A10?1 5法三：

P(D)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥

?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?82211???? 109109522.[十八]某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

记H表拨号不超过三次而能接通。 Ai表第i次拨号能接通。

注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。

??H?A1?A1A2?A1A2A3三种情况互斥P(H)?P(A1)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

?1919813??????10109109810如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。

P(H|B)?PA1|B?A1A2|B?A1A2A3|B)

?P(A1|B)?P(A1|B)P(A2|BA1)?P(A1|B)P(A2|BA1)P(A3|BA1A2)?1414313?????? 5545435

24.[十九]设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）

记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”。∵∴

B=A1B A2B且A1，A2互斥 P(B)=P(A1)P(B| A1) P(A2)P(B| A2)

=

nN?1mN???n?mN?M?1n?mN?M?1[十九](2)第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。

记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。 C2为“从第一盒子中取得2只白球”。

C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，

D为“从第二盒子中取得白球”，显然C1，C2，C3两两互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有

P(D)=P(C1)P(D|C1) P(C2)P(D|C2) P(C3)P(D| C3)

112C525C4?C47C5653?2?????2?

1199C911C911C9226.[二十一]已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1 A2=φ由已知条件知P(A1)?P(A2)?由贝叶斯公式，有

1P(B|A1)?5%,P(B|A2)?0.25% 2?

15?P(A1B)P(A1)P(B|A1)202100P(A1|B)????125P(B)P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)1521???2100210000

[二十二]一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，若第一次

P及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为（1）若至少

2有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。

解：Ai={他第i次及格}，i=1,2

已知P(A1)=P(A2|A1)=P，P(A2|A1)?P

2（1）B={至少有一次及格}

}?A1A2所以B?{两次均不及格∴P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2)?1?P(A1)P(A2|A1)?1?[1?P(A1)][1?P(A2|A1)]?1?(1?P)(1?P31)?P?P2 222

（*）

定义P(A1A2)（2）P(A1A2)

P(A2)由乘法公式，有P(A1 A2)= P(A1) P(A2| A1)= P2

由全概率公式，有P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)

?P?P?(1?P)?

P2?PP?222

将以上两个结果代入（*）得P(A1|A2)?P2P2P?22?2P P?128.[二十五]某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：

到家时间乘地铁到 0.10家的概率乘汽车到 0.30家的概率某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。

解：设A=“乘地铁”，B=“乘汽车”，C=“5:45~5:49到家”，由题意,AB=φ,A∪B=S已知：P(A)=0.5, P(C|A)=0.45, P(C|B)=0.2, P(B)=0.5由贝叶斯公式有

0.35 0.20 0.10 0.05 0.25 0.45 0.15 0.05 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54迟于5:54 P(A|C)?P(C|A)P(A)?P(C)0.5?0.450.459???0.6923

110.6513P(C|A)?P(C|B)2229.[二十四]有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解：设Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2 Aj表示“第j箱产品” j=1,2，显然A1∪A2=S（1）P(B1)?A1A2=φ

1101182。?????0.4（B1= A1B A2B由全概率公式解）

2502305110911817?P(B1B2)2504923029（2）P(B2|B1)???0.4857

2P(B1)5（先用条件概率定义，再求P(B1B2)时，由全概率公式解） 32.[二十六（2）]如图1，2，3，4，5

1 L 3 2 R

表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L和R是通路的概率。

记Ai表第i个接点接通

记A表从L到R是构成通路的。

∵ A=A1A2 A1A3A5 A4A5 A4A3A2四种情况不互斥

∴ P(A)=P(A1A2) P(A1A3A5) P(A4A5) P(A4A3A2)－P(A1A2A3A5)

P(A1A2 A4A5) P(A1A2 A3 A4) P(A1A3 A4A5)

P(A1A2 A3A4A5) P(A2 A3 A4A5) P(A1A2A3 A4A5) P(A1A2 A3 A4A5) (A1A2 A3 A4A5) P(A1A2 A3 A4A5)－P(A1A2 A3 A4A5)

又由于A1，A2， A3， A4，A5互相独立。故

P(A)=p2 p3 p2 p3－[p4 p4 p4 p4 p5 p4]

4

5

[ p5 p5 p5 p5]－p5=2 p2 3p3－5p4 2 p5

[二十六（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。

记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，

2 1 4 3 A表示系统正常。

∵ A=A1A2A3 A1A4两种情况不互斥

(加法公式)

∴ P(A)= P(A1A2A3) P(A1A4)－P(A1A2A3 A4)

= P(A1) P(A2)P(A3) P(A1) P(A4)－P(A1) P(A2)P(A3)P(A4)= P1P2P3 P1P4－P1P2P3P4

(A1, A2, A3, A4独立)

34.[三十一]袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？

解：设“出现r次国徽面”=Br“任取一只是正品”=A由全概率公式，有

m1rn()??1rm?n2m?nm1r()P(A)P(Br|A)mm?n2?P(A|Br)???m1rnP(Br)m?n?2r()?m?n2m?nP(Br)?P(A)P(Br|A)?P(A)P(Br|A)?（条件概率定义与乘法公式）

35．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。

解：高Hi表示飞机被i人击中，i=1，2，3。B1，B2，B2分别表示甲、乙、丙击中飞机

∵

H1?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3，三种情况互斥。 H2?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3三种情况互斥 H3?B2B2B3

又 B1，B2，B2独立。∴

P(H1)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)

?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36

P(H2)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)

?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3 0.4×0.5×0.7 0.6×0.5×0.7=0.41 P(H3)=P(B1)P(B2)P(B3)=0.4×0.5×0.7=0.14

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